定数倍の方は返信で補足することにして, とりあえず関数の積についてのみ示します(定数関数の連続性を認めれば, 定数倍の連続性もこれから従いますし). 【解答】 まず次の claims を準備しておく. ［claim.1: ∃δ1>0, M>0 s.t. "|x-a|<δ1 ⇒ |f(x)|<M".］ f(x) は x=a で連続なので, ∃δ1>0 s.t. "|x-a|<δ1 ⇒ |f(x) - f(a)|<1" が成り立つ. M := 1+|f(a)| > 0 とおく. このとき, |x-a|<δ1 とすると, |f(x)| = |f(x) - f(a) + f(a)| ≦ |f(x) - f(a)| + |f(a)| < 1 + |f(a)| = M. よって示された. // ［claim.2: ∃M>0 s.t. |g(a)|<M.］ N := 1+|g(a)| > 0 とおけば明らか. // さて, f(x) g(x) が x=a で連続であることを示す. ［示すこと：∀ε>0, ∃δ>0 s.t. "|x-a|<δ ⇒ |f(x) g(x) - f(a) g(a)|<ε".］ 任意に ε>0 をとる. f(x), g(x) は x=a で連続なので, ・∃δ2>0 s.t. "|x-a|<δ2 ⇒ |f(x) - f(a)|<ε/(2N)", ・∃δ3>0 s.t. "|x-a|<δ3 ⇒ |g(x) - g(a)|<ε/(2M)" が成り立つ. そこで, δ := min{δ1, δ2, δ3} > 0 とおく. このとき, |x-a|<δ とすると, |x-a|<δ1, |x-a|<δ2, |x-a|<δ3 なので, |f(x) g(x) - f(a) g(a)| = |f(x) g(x) - f(x) g(a) + f(x) g(a) - f(a) g(a)| ≦ |f(x) g(x) - f(x) g(a)| + |f(x) g(a) - f(a) g(a)| ≦ |f(x)| * |g(x) - g(a)| + |g(a)| * |f(x) - f(a)| < M * ε/(2M) + N * ε/(2N) = ε/2 + ε/2 = ε. 以上より, f(x) g(x) が x=a で連続であることが示された. □