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銅線の温度上昇の求め方について質問です。 疑問 比重×体積=重さ でよろしい...

小さい羊さん

2007/12/716:14:11

銅線の温度上昇の求め方について質問です。

疑問
比重×体積=重さ
でよろしいでしょうか。

間違っていないならば
比重=8.94(銅) 断面積(A)×長さ(L)=体積 比熱=387 ρ=0.018 電流=I 時間=t として
〔387/(8.94×L×A)〕×0.018×(L/A)×I^2×t
整理して
0.779×(I/A)^2×t

どなたか正否を教えてください。
また,違っている場合は求め方を教えてください。お願いします。

補足早速の回答ありがとうございます。
単位を補足させていただきます。
A[mm^2] L[mm] I[A] 比熱[(J/kg)℃]
各ホームページを参照したままで申し訳ございません。

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編集あり2007/12/800:42:08

>比重×体積=重さ
>でよろしいでしょうか。

比重は基準物質に対する質量比なので、無次元の値です。
また、「重さ(重量)=質量×重力加速度」という力です。
なので、上記の式は左辺は体積、右辺は力なので成り立ちません。
水を基準物質とした一般の比重について、cgs工学単位系という限定された単位系においてのみ、比重は密度と同じ数値になり、重さは質量と同じ数値になりますので、数字上の計算だけ同じ値になります。

正しくは、
比重×基準物質密度×体積=質量
です。
固体については最大密度時の水が基準物質とする比重(銅について8.94というのもこの場合)が一般に使われてますので、基準物質密度としては1000[kg/m^3]=1[g/cm^3]を使います。単位系によって数値は異なりますので単位をあわせて計算して下さい。得られる右辺は重さではなく、質量になりますが、比熱に関する計算をしたいようですので用いるのは重さではなく質量が正しいでしょう。

他の値も、単位が書かれていないので、式が正しいのか間違ってるのか判断しようがありません。
物理量は、単位込みの文字で表すか、単位の付いた数値で表すか、どちらかでないと使えません。

【追記】
物理量の計算は、単位をきちんと整理しながら考えると、公式を誤って用いることもなくなります。
まず、比熱の単位ですが、比熱(比熱容量)は、単位質量(1[kg])の物質の温度を1℃上げるのに必要なエネルギー([J])ですから、単位は[J/(kg・℃)](SI単位系では本来は[J/kg・K)]となりますが、ここでは温度の絶対値は問題にならず温度上昇という差分だけを考えますのでKでも℃でも構いません。)になるはずです。もう一度資料を確認して下さい。

最終的に温度上昇を求めたいのですから、比熱は
1/(387[J/(kg・℃)]) = 1/387 [kg・℃/J]
と分母に来ないと、℃が分子に来てくれません。この式を元に、余計なkgとJを消すことを考えます。

まず、kgを消すには、温度上昇する物体の質量で割れば良いと分かりますから、上記の質量の式で割れば
1/387 [kg・℃/J] / (比重×基準物質密度×体積)
= 1/387 [kg・℃/J] / (8.94×1000[kg/m^3]×A×L)
= 1/(387×8940×A×L) [℃/J]
です。ただし、AとLは[m]単位で考えています。

次に、[J]を消すには、電気抵抗による発熱量(エネルギー)を掛ければ消えるはずです。
質問文中の電気抵抗率ρの値が、何の単位での数値か分かりかねるのですが、純粋な銅であれば20℃においてρ=1.688×10^(-8)[Ωm]です。多少の数値の差は導線の素材が純銅ではないからとしても、桁が6桁違うのは単位に[mΩ・mm]でも使っているのでしょうか? あるいは、電気抵抗率の逆数である導電率をよく[10^6/Ωm]で表すので、単にこれの逆数を取ったのでしょうか? いずれにしても、ρは1.8×10^(-8)[Ωm]と考えないと桁が全く合いません。
抵抗はR=ρL/Aですので、発熱量は
R I^2 t = ρL/A I^2 t [J]
ですので、これを上の式に掛けますと、
1/(387×8940×A×L) [℃/J] × ρL/A I^2 t [J]
= 1.8×10^(-8)/(387×8940)×(I/A)^2×t [℃]

面積を[mm^2]で計算するなら、A=A×10^(-6)[mm^2]となりますので、(紛らわしいですが、左辺のAは物理量としての単位m^2も含んだ面積、右辺のAはそれをmm^2で表した時の数値)

= 1.8×10^(-8)/(387×8940×(A×10^(-6))^2)×I^2×t [℃]

となりますので、あとはこれを整理して下さい。私の電卓計算では

0.0052×(I/A)^2×t

となりました。(検算して下さい。) 直径1mm強の導線の断面積が1mm^2ですから、それに1[A]の電流(100V電源で100W電球相当)を流し続けたとして1分(t=60[s])当たり約0.3℃の温度上昇となります。これくらいなら放熱も間に合うでしょうから、まあまあ使用できる妥当な値かと思いますがどうでしょう?

係数が0.779だとたった1分で50℃近くも上がることになってしまいますので、直径1mm強では細すぎてすぐ火事になるので使えないということになってしまいます。全ての配線を少なくとも直径1cmくらいの導線(というより導棒)で行わなければ危険ですが、100W電球にそんな太い配線は見たことありませんね。こういう風に、適当に常識範囲の数字を代入してみて答を検証するというのも大切です。

【訂正】
1cmは必要ないですね。A^2で効いてくるので、直径4mm程度でOKです。でも、これでも普通に使っている配線からすると100Wに使うにしては太すぎですよね。

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