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数学です! 分配法則についてご教授ください。 a(b+c)=ab+acを、aやbやcが負の...

Advance2019さん

2014/11/2519:10:32

数学です!

分配法則についてご教授ください。
a(b+c)=ab+acを、aやbやcが負の場合でも
成り立つような証明の方法ってありませんか?

長方形を利用した分配法則の証明をよくみますが、
負の場合では考えられないと思うのです。

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sch********さん

2014/11/2520:00:04

-AB = (-A)B = A(-B) は認めることとします。

a,b,c を正として、c ≧b とします。

[1]
(-a)(b+c)=-a(b+c)=-(ab+ac) = -ab-ac

(最後の等式は ab+ac -(ab+ac) = 0
の左辺の ab+ac を移項すると分かります。)

[2]
a(-b+c)+a(b+c)= a(-b+c+b+c) = 2ac により
a(-b+c) = 2ac-ab-ac = ac-ab

[3]
a(b-c) = -a(c-b) = -(a(c-b)) = -(ac-ab) なので
0 = a(b-c) + (ac-ab) = a(b-c)+ac-ab
よって a(b-c) = -ac+ab

[4]
a(-b-c) = a(-1)(b+c) = -a(b+c) = -(a(b+c)) = -(ab+ac)
(最初の等式は [1] を使っています。)
なので
a(-b-c) + (ab+ac) = -(ab+ac)+(ab+ac) = 0
よって
a(-b-c) + ab = -ac となり
a(-b-c) = -ac - ab

などなどです。

質問した人からのコメント

2014/11/26 20:23:58

成功 スッキリしました。丁寧な回答ありがとうございます!

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kyo********さん

2014/11/2615:58:56

数直線で考えよう。
5cm + (-8cm) = -3cm
単位を変えると
50mm+ (-80mm) = -30mm
50 + (-80) = -30
5x10 + (-8)x10 = {5 +(-8)}x10

suz********さん

2014/11/2520:02:16

話が変わるんですが
(+2)☓(+5)=10
(+2)☓(-5)=-10
(-2)☓(+5)=-10
(-2)☓(-5)=10
符号は何故そうなるのか、説明できますか?
教科書では丁寧に向きで説明していますが、
まあ
「1+2=3だ。覚えろ!!!」
「2☓5=10だ。覚えろ!!」
符号も「覚えろ!!!」の世界ですね。
-----------------
私の知っている中学生は「小学生に戻りたい」といってます
-----------------
あえて、やるなら
a<0のとき、a=-|a|でしょうが、
余計にややこしくなりますね。
軽く流せばいいんじゃないですか?
どうしても証明したいですか?

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