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z=tan^-1(xy)のとき、 x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)=0 z=(1/√y)e^-x^2/y ならば、 4(∂...

ns1********さん

2014/12/516:48:22

z=tan^-1(xy)のとき、
x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)=0

z=(1/√y)e^-x^2/y ならば、
4(∂z/∂y)=(∂^2)z/(∂^2)
の等式を示せという問題を教えてください

補足下の方ですが正確には
z=(1/√y)e^(-x²/y)で、
4(∂z/∂y)=(∂^2)z/(∂^2)x
です

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ウランさん

2014/12/517:39:26

z=arctan(xy)
arctanxの微分1/(1+x²)
∂z/∂x=y・{1/(1+(xy)²}=y/(1+x²y²)
∂z/∂y=x・{1/(1+(xy)²}=x/(1+x²y²)
x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)={xy/(1+x²y²)}-{xy/(1+x²y²)}=0

z=(1/√y)e^-x²/y
なんですが
e^(-x²/y)なのか
{e^(-x²)}/yなのかわからないので
あと
∂²z/∂²も入力ミスなのではないですか

  • ウランさん

    2014/12/518:04:39

    了解しました
    z=(1/√y)e^(-x²/y)
    ∂z/∂y={-1/(2y√y)}・e^(-x²/y)+(1/√y)・(x²/y²)e^(-x²/y)
    =[{-1/(2y√y)}+{x²/(y²√y)}]e^(-x²/y)
    4(∂z/∂y)=[-{2/(y√y)}+{4x²/(y²√y)}]e^(-x²/y)

    ∂z/∂x=(1/√y)・-(2x/y)e^(-x²/y)={-2x/(y√y)}e^(-x²/y)
    ∂²z/∂x²=-{2/(y√y)}・e^(-x²/y)-{2x/(y√y)}・(-2x/y)e^(-x²/y)
    =-{2/(y√y)}・e^(-x²/y)+{4x²/(y²√y)}・e^(-x²/y)
    =[-{2/(y√y)}+{4x²/(y²√y)}]e^(-x²/y)

    よって
    4(∂z/∂y)=∂²z/∂x²

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質問した人からのコメント

2014/12/5 18:12:27

ありがとうございました

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