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非弾性衝突で失われる

him********さん

2014/12/717:54:51

非弾性衝突で失われる

力学的エネルギーの求め方を
教えてください

補足その計算を教えていただきたいです

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bor********さん

2014/12/806:43:10

非弾性衝突だから、反発係数が与えられていると仮定して・・、
・反発係数の式をたてる
・運動量保存の式をたてる
・上の二つの式から、衝突後の速度を求める
・衝突前の速度から運動エネルギーを計算し、衝突後の速度から運動エネルギーを計算する。
・この2つのエネルギーの差が、失われた力学的エネルギーになる。

  • bor********さん

    2014/12/812:05:09

    物体Aの質量:ma
    物体Aの初速:va
    物体Bの質量:mb
    物体Bの初速:vb
    衝突後の物体Aの速度:Va
    衝突後の物体Bの速度:Vb
    反発係数:e

    反発係数の式
    e=-(Va-Vb)/(va-vb)---①
    運動量保存の式
    mava+mbvb=maVa+mbVb---②

    ①②の連立方程式を解いて、Va、Vbを求める。
    Va={(ma-emb)va+(1-e)mbvb}/(ma+mb)
    Vb={(1+e)mava+(mb-ema)vb}/(ma+mb)

    衝突前の運動エネルギー:E1
    E1=(1/2)mava^2+(1/2)mbvb^2
    衝突後の運動エネルギー:E2
    E2=(1/2)maVa^2+(1/2)mbVb^2
    =(1/2)ma[{(ma-emb)va+(1-e)mbvb}/(ma+mb)]^2+(1/2)mb[{(1+e)mava+(mb-ema)vb}/(ma+mb)]^2

    失われたエネルギー=E1-E2

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ame********さん

2014/12/818:56:08

摩擦のない水平面上(直線上)での2物体の衝突とします。
物体P:(m,v)→(m,v') 、
物体Q:(M,V)→(M,V')

教科書や参考書を調べてもらえば、
衝突の際に失われたエネルギーを求める問題があると思います。
おそらく、解答や解説には
『反発係数の式』と『運動量保存則』を連立させることで、
失われたエネルギーを2物体の初速度を用いて表しているはずです。

ですが、この解法はやや面倒でミスもしやすいので、
ここでは、裏技を紹介します。

そこで、まず『重心運動エネルギーKg』と『相対運動エネルギーKr』
というものを定義しておきます。

Kg=1/2・(m+M)vG^2・・・①
Kr=1/2・μvR^2・・・②

vGは重心速度で
vG=(mv+MV)/(m+M)

vRは相対速度で
vR=v-V
(V-v でも良い)

μは換算質量と呼び、
1/μ=1/m +1/M
つまり、μ=mM/(m+M)

Kgについては、
質量の部分が2物体の質量の和となっています。

また、「ある瞬間において常に成り立つ」こととして
2物体の運動エネルギーをそれぞれ
Kp=1/2・mv^2
Kq=1/2・MV^2 とすると

Kp +Kq=Kg +Kr・・・③
という関係が常に成り立ちます。
(実際に両辺を計算すれば確認できます)

−−−−−−−−−−
ここからが本題ですが、
『運動量(の和)が保存』=『vGが一定』
であるから、質量は一定なので
①を見ると、『Kgも一定』が言えます。

失われたエネルギーをWとすれば、
エネルギー保存則は
Kp +Kq -W=Kp' +Kq'
となるが、③の関係式から
Kg +Kr -W=Kg' +Kr'
と書けて、Kg=Kg'なので
Kr -W=Kr'・・・④
∴W=Kr-Kr'=1/2・μ(vR^2 -vR'^2)
とわかります。
ここで、反発係数eは
e=-(v'-V')/(v-V)=-vR'/vR
つまり、vR'=-e・vRなので
W=1/2・μ(1 -e^2)vR^2
vRとμを直すと
W=1/2・mM/(m+M)・(1 -e^2)(v-V)^2
となります。
−−−−−−−−−−
解答としては、点線内ですが、
『運動量保存の下では④は常に成り立つ』ので、
結局、失われたエネルギーは『Krの減少量』
という意味になります。
よって、このことを知っていると
Kg、Kr、μを導入することで瞬時に計算できてしまいます。

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