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水平でなめらかな台上に,質量 が M の,へりのついた板 A を置き,その板の 上...

kkf********さん

2014/12/1101:45:32

水平でなめらかな台上に,質量
が M の,へりのついた板 A を置き,その板の
上に質量 m の小物体 B をのせ,へりに直角の
方向に初速度 v0 ですべりださせる。

B が A の
へりと衝突するときの反発係数を e 00<e<1 1
とし,A と B の間には摩擦はないものとして,
次の問いに答えよ。
(1) B の初速度の向きを正とすると,1 回目の衝突後の A,B の速度はどうなるか。ま
た,衝突後の A に対する B の相対速度の大きさはいくらか。
(2) 次に,B は A の反対側のへりと衝突する。2 回目の衝突後の A に対する B の相対
速度の大きさはいくらか。
(3) 衝突をくりかえすたびに A,B の速度は変化するが,A に対する B の相対速度の
大きさは連続する衝突で一定の規則性をもつ。その内容を文章で述べよ。
(4) 終局的に A はある一定の速度になる。その速度 v を求めよ。

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bor********さん

2014/12/1106:14:03

(1)1回目の衝突
衝突後のAの速度:Va
衝突後のAの速度:Vb
反発係数の式
e=-(Va-Vb)/V0---①
運動量保存の式
mV0=MVa+mVb---②
①②の連立式を解き、VaとVbを求める
Va=(1-e)mV0/(m+M)
Vb=(m+eM)V0/(m+M)
AにたいするBの相対速度:V
V=Vb-Va=(m+M)eV0/(m+M)=eV0---答

(2)反対側への2回目の衝突
衝突後のAの速度:va
衝突後のAの速度:vb
反発係数の式
e=-(va-vb)/(Va-Vb)
(1)の答より
=(va-vb)/eV0---③
運動量保存の式
mV0=Mva+mvb---④
③④の連立式を解き、vaとvbを求める
va=(1+e^2)mV0/(m+M)
vb=(m-e^2M)V0/(m+M)
AにたいするBの相対速度:v
v=vb-va=(m+M)e^2V0/(m+M)=e^2V0---答

(3)
上の二つの答えを比べると、1回目の相対速度と2回目の相対速度は、公比=eの等比級数となっている。

(4)
上のことから、n回目の衝突でのAの速度:Ua
Ua=(1+e^n)mV0/(m+M)
n→∞となると、
Ua=mV0/(m+M)---答

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