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数列{a(n)}は 漸化式:a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(n+3)=a(n+2)+a(n)を満たす。 この...

rea********さん

2008/1/311:47:28

数列{a(n)}は
漸化式:a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(n+3)=a(n+2)+a(n)を満たす。
このとき、一般項a(n)を求めよ。

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kts********さん

2008/1/1000:13:27

母関数を使った方法で解いてみます。

f(x) = a(0)x^0 + a(1)x^1 + a(2)x^2 + a(3)x^3 + … とおきます。
ただし、a(0) = 0 とします。

x^0 f(x) = a(0)x^0 + a(1)x^1 + a(2)x^2 + a(3)x^3 + … ─ (1)
x^1 f(x) = 0(0)x^0 + a(0)x^1 + a(1)x^2 + a(2)x^3 + … ─ (2)
x^2 f(x) = 0(0)x^0 + 0(0)x^1 + a(0)x^2 + a(1)x^3 + … ─ (3)
x^3 f(x) = 0(0)x^0 + 0(0)x^1 + 0(0)x^2 + a(0)x^3 + … ─ (4)

( 0(0)x^n はただの 0 です。横位置を合わせるためにこう書いています。)
となります。(1) - (2) - (4) より、

(x^0 - x^1 - x^3) f(x)
= a(0) + (a(1) - a(0))x + (a(2) - a(1))x^2 + 0x^3 + 0x^4 + 0x^5 + …
= 0 + x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + 0x^5 + …
= x

となります。したがって、

f(x) = x / (x^0 - x^1 - x^3) = x / (1 - x - x^3)

となります。
ここで (1 - x - x^3) = (1 - αx)(1 - βx)(1 - γx) とおくと、

-(α+β+γ) = -1
αβ+βγ+γα = 0
-αβγ = -1

ですから、α,β,γは x^3 - x^2 - 1 = 0 の解になります。これを利用して f(x) を部分分数分解すると、

f(x) = x / (1 - x - x^3) = ○ / (1 - αx) + △ / (1 - βx) + □ / (1 - γx)

となるはずです。ここで、分子をそのまま求めるのではなく、

x / (1 - x - x^3) = (a + bα + cα^2) / (1 - αx) + (a + bβ + cβ^2) / (1 - βx) + (a + bγ + cγ^2) / (1 - γx)

とおいて定数 a,b,c を求めた方が計算しやすくなります。
計算してみると、

a { (1 - βx)(1 - γx) + (1 - γx)(1 - αx) + (1 - αx)(1 - βx) }
= a { 3 - 2(α+β+γ)x + (αβ+βγ+γα)x^2 }
= (3 - 2x)a

b { α(1 - βx)(1 - γx) + β(1 - γx)(1 - αx) + γ(1 - αx)(1 - βx) }
= b { (α+β+γ) - 2(αβ+βγ+γα)x + 3(αβγ)x^2 }
= (1 + 3x^2)b

c { α^2(1 - βx)(1 - γx) + β^2(1 - γx)(1 - αx) + γ^2(1 - αx)(1 - βx)
= c { (α^2+β^2+γ^2) - (α^2β+α^2γ+β^2γ+β^2α+γ^2α+γ^2β)x + αβγ(α+β+γ)x^2 }
= c { { (α+β+γ)^2 - 2(αβ+βγ+γα) } - { (αβ+βγ+γα)(α+β+γ) - 3αβγ } x + αβγ(α+β+γ)x^2 }
= (1 + 3x + x^2)c

x についての恒等式 x = (3 - 2x)a + (1 + x^2)b + (1 + 3x + x^2)c が成り立つためには、

3a + b + c = 0
-2a + 3c = 1
3b + c = 0

-2 -3 9 /31

である必要があり、これを解くと、a = -2/31 , b = -3/31 , c = 9/31 となります。
したがって、

f(x)
= ( (-2/31) + (-3/31)α + (9/31)α^2 ) / (1 - αx)
+ ( (-2/31) + (-3/31)β + (9/31)β^2 ) / (1 - βx)
+ ( (-2/31) + (-3/31)γ + (9/31)γ^2 ) / (1 - γx)
= ( (-2/31) + (-3/31)α + (9/31)α^2 ) (1 + αx + α^2x^2 + α^3x^3 + … )
+ ( (-2/31) + (-3/31)β + (9/31)β^2 ) (1 + βx + β^2x^2 + β^3x^3 + … )
+ ( (-2/31) + (-3/31)γ + (9/31)γ^2 ) (1 + γx + γ^2x^2 + γ^3x^3 + … )

この式と f(x) = a(0)x^0 + a(1)x^1 + a(2)x^2 + a(3)x^3 + … の係数を比較すると、

一般項 a(n) = ( (-2/31) + (-3/31)α + (9/31)α^2 )α^n + ( (-2/31) + (-3/31)β + (9/31)β^2 )β^n + ( (-2/31) + (-3/31)γ + (9/31)γ^2 )γ^n
(ただし、α,β,γは x^3 - x^2 - 1 = 0 の解)

が得られます。


でも、このままだと確認計算ができませんね。
まず、x^3 - x^2 - 1 = 0 は1つの実数解を持つので、α = 1.4644712319 とおきます。
すると、(x - 1.4644712319)(x^2 + 0.4655712319x + 0.6823278038) と因数分解でき、
2次方程式の解の公式より、
β = -0.2327856159 + i 0.7925519925 , γ = -0.2327856159 - i 0.7925519925 とおくことができます。
(i は虚数単位です。)
オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を用いると、

(x + i y)^n =
{ √(x^2 + y^2) ( cosθ + i sinθ ) }^n
= {√(x^2 + y^2)}^n e^(iθn)
= {√(x^2 + y^2)}^n ( cos(nθ) + i sin(nθ) )

となるので、

β^n = (0.8260313577)^n cos( 1.8564785415 n ) + i (0.8260313577)^n sin( 1.8564785415 n )
γ^n = (0.8260313577)^n cos( 1.8564785415 n ) - i (0.8260313577)^n sin( 1.8564785415 n )
β^n + γ^n = 2(0.8260313577)^n cos( 1.8564785415 n )

となります。この値を用いると確認計算ができます。

実際に確認計算して、定義式によって計算した値と上記の一般項の式によって計算した値を比較すると、
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/kts2371148/vwp2?.tok=bcLbOUaB5fJkf....
のようになり、一般項が上記の式で正しいことがわかります。

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mar********さん

2008/1/319:09:47

a(n+1)=∑C(n-2i,i) (i=0,,,n/3) 但しC(n.k)=nCk (二項定数)
だと思います。

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