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回転座標系と静止系(独学中) (参考書の本文) 静止系Oxyに対し、Oの周...

stu********さん

2015/1/2815:37:08

回転座標系と静止系(独学中)

(参考書の本文)
静止系Oxyに対し、Oの周りを角速度ωで回転する回転座標系Ox‘y‘がある。

あるベクトルqが静止系ではq=(x1、y1)と表されるとき、t秒後ωtだけ回転した、Ox‘y‘ではq‘=(x1‘、y1‘)と表されるとする。
このとき、Ox‘y‘をーωt回転して、Oxyに重ねてみると、qはq‘をωtだけ回転したものであるから、
(x1、y1)=R(ωt)(x1‘、y1‘)※R(ωt)はθ=ωtとした回転行列
このことを利用すると、
静止系でr(t)=(x、y)と表されたものは回転座標系でみると、物体Pの位置r(t)=R(ωt)r‘(t)。
Pの速度v(t)=R(ωt)*v‘(t)、Pの加速度a(t)=R(ωt)*a‘(t)
※*v‘(t)と*a‘(t)は回転座標系Ox‘y`から見た速度、加速度を表すものではなく、あくまでも静止系Oxyから見て傾いた座標成分x‘y‘で*v‘(t)と*a‘(t)を表したものにすぎない。
(疑問)
Pの位置が静止系でみると、r(t)ならば、回転座標系で測ると、r‘(t)のとき、それらが
r(t)=R(ωt)r‘(t)という関係式で結びつくのに、
Pの速度や加速度を静止系で表すと、v(t)、a(t)のとき、同じように、回転座標系で測ったら、v(t)=R(ωt)v‘(t)やa(t)=R(ωt)*a‘(t)とはならないのはどうしてでしょうか?
*v‘(t)と*a‘(t)が何を表しているのかがいまいち想像できません。
どなたかわかる方教えてください。

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chi********さん

2015/1/2821:57:24

(x, y) = R(θ) (x', y').
逆変換は
(x', y') = R(-θ) (x, y).
具体的には
x' = x cosθ + y sinθ,
y' = -x sinθ + y cosθ.

速度ベクトルに対しても上と同じ変換則が成り立ちますから,静止系での速度成分 (u, v) を回転系での (u', v') へ同様の式で変換することができて,
u' = u cosθ + v sinθ,
v' = -u sinθ + v cosθ.

しかし,u' と v' は回転系での速度成分ではありません.回転系で観測される速度の x 成分は dx'/dt です.上の x' の式を微分して,ω = dθ/dt を使うと,
dx'/dt = (dx/dt)cosθ - xωsinθ + (dy/dt)sinθ + yωcosθ
= (dx/dt)cosθ + (dy/dt)sinθ + ω(-x sinθ + y cosθ)
= u cosθ + v sinθ + ωy'.
= u' + ωy'.
同じく y 成分は
dy'/dt = -(dx/dt)sinθ - xωcosθ + (dy/dt)cosθ - yωsinθ
= -(dx/dt)sinθ + (dy/dt)cosθ - ω(x cosθ + y sinθ)
= -u sinθ + v cosθ - ωx'
= v' - ωx'.

回転系で観測される速度成分は (u', v') に (ωy', -ωx') を加えたものであるということです.この加えられた成分の意味は明白です.回転系の座標軸が角速度 ω で回転すると,静止系で静止している点は,回転系では同じ大きさの角速度で逆向きに回転するように見えます.それによる速度成分は,動径の大きさを r', 偏角を φ として(図を描いて確認してください)
(r'ωsinφ, -r'ωcosφ) = (ωy', -ωx').
回転系では座標軸の回転(=基底ベクトルの時間変化)に起因するこの成分を (u', v') に加える必要があるわけです.(u', v') という成分表示は,回転系の座標軸が「傾いている」効果は取り入れているけれど,回転している(動いている)効果は無視して得られたものと言ったらよいでしょうか.

加速度についても同様に考えることができます(式は変わりますが).ご自分で確認なさってください.

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