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【500枚】一般的なベクトル空間Vと部分空間を与えられた時....*線形代数 この問...

vol********さん

2015/4/1202:43:08

【500枚】一般的なベクトル空間Vと部分空間を与えられた時....*線形代数

この問題の考え方が本当に解りません。

早速ですが
Q.V=R^4、部分空間U={(v1 v2 v3 v4)^T| v1+v2+v3+v4=0}があるとする。
a)Uの基底を求めよ。
b)上記の基底をVの基底に拡張せよ。v∈Vをこの基底を使って表わせ。
b)剰余化群V/Uの元を説明せよ。V/Uの基底を探し、基底である事を証明せよ。

先ず、解答は手元にあるので問題を実際を解いて欲しい、という訳でなく「解説」をお願いしたいのです。
例えばa)は辛うじて解りました。v4=-v1-v2-v3なので基底は(1 -1 0 0), (0 1 -1 0), (0 0 1 -1)となるのはOKです(全て列ベクトル)。

しかし、b)の解説では"上記の基底にベクトル(1 1 1 1)を加えれば良い"としか書いておらず、私としては「だから何でパッと見ですぐ(1 1 1 1)って答えがでるの?」というのが疑問で仕方ありません。
数学的に「こうだからあーしてこーしてこうすると、ハイ、(1 1 1 1)にたどり着きます」というわけでなく何だか「まぁ、直感と慣れでパッと見大体想像できない?」と言われている感じで「いいえ、全然できません」としか。

なので具体的に
①b)の答えが「何故」(1 1 1 1)なのか。(1 1 1 1)を与えられたら確かに基底である条件(線形独立とスパン)は満たすと確認できても、そもそも見つけ出す方法が解らない。

②線形独立か否かは代数学的に求められるとして、スパンするか否かの確認方法がイマイチわかりません。例えば基底B={(1 -1 0 0),(0 1 -1 0),(0 0 1 -1),(1 1 1 1)}がV=R^4を張るか?と聞かれたら、つまり係数c1,c2,c3,c4に関して(c1+c4 -c1+c2+c4 -c2+c3+c4 -c3+c4)のそれぞれがV内の任意の点を必ず表示できるか、を考えるわけですがサァそんなのc1~c4の取り方によってはできそうなような、さすがに全ての点までは無理なような....
一般に、張るか張らないか、どう確かめればいいんですか?

③最後にV/Uとはv∈Vに対してv+Uを考え....るようですが、剰余環のようにv+U=w+U(v,w∈V)となるような集合を考えれば良いのですか?やっと剰余環がなんとなくわかってきたのに、また混乱しそうです。剰余環の場合x~y⇔y-x∈I(イデアル)だったわけですが、この場合もw-v∈Uならばv+U=w+Uと見做すんでしょうか?

分り易く答えて頂ければ必ずお礼させて頂きますので、是非よろしくお願いします!!

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oka********さん

2015/4/1302:03:28

③V/Uとはv∈Vに対してv+Uを考えます。
剰余環の場合x~y⇔y-x∈I(イデアル)ですが、
この場合もw-v∈Uならばv+U=w+Uと見做します。

イデアルIと、部分ベクトル空間Uの、比較をしてみます。

■環R上の真部分加群I(⊂R)のとき、Iをイデアルといいます。
ここでR*I=Iです。

そして、イデアルIは生成元uiで、
I= Σ R*uiと表されます。(Rが多項式環のとき)

■体K上の加群Vのとき、Vをベクトル空間といい、
体K上の部分加群U(⊂V)のとき、UをVの部分ベクトル空間といいます。
ここで、K*V=V、K*U=Uです。

そして、部分ベクトル空間Uは生成元uiで、
U= Σ K*uiと表されます。(Vが有限次元のとき)

さらに、ベクトル空間VはUの生成元uiに生成元viを追加して、
V= Σ K*ui + Σ K*viと表されます。

なので、V = U + Σ K*viですね。
V/U=V-U= Σ K*viとなります。

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ベストアンサー以外の回答

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aer********さん

2015/4/1203:30:47

誤解があるといけないので念のため注意:
「基底」の答え方は一意的ではありません

例えばUの基底として
(1 -1 0 0)
(1 0 -1 0)
(1 0 0 -1)
と答えても問題ないです。

---------------
・線形独立であること

基底B={(1 -1 0 0),(0 1 -1 0),(0 0 1 -1),(1 1 1 1)}
は線形独立であることはすぐに分かります
前3つは線形独立であり(既知とします)
前3つの線形結合は成分の和が常に0にしかならないから
(1 1 1 1)は他の3つのベクトルの線形結合で表せない

逆に、成分の和が0でない任意のベクトルを付け加えれば
線形独立な4つのベクトルの組が出来上がります
例えば (1 0 0 0) とかでも良いでしょう
------------------
・BがR^4を張ること

Bで張られる空間をV'とします
もしV'がR^4を張らないと仮定します。
R^4に属してV'に属さないベクトルaが存在します。
そうすると Bの基底にaを付け加えた5つのベクトルは線形独立ということになります

「n次元線形空間に(n+1)個以上のベクトルがあったら線形独立にならない」
ということはたぶん既知だと思います。
そういうわけで上記の仮定は否定されます。
(つまりn次元線形空間のn個の線形独立なベクトルがあればそれはn次元線形空間全体を張ることが保証されます)

---
より具体的な説明もしてみます

(x,y,z,w) が与えられたとします
(x y z w) = a(1 -1 0 0) + b(0 1 -1 0) + c(0 0 1 -1) + d(1 1 1 1) とおきます

x+y+z+w = d/4 とおけば
(x y z w) - d(1 1 1 1) は Uの元になります。
[そうなるようにdを調整できるわけです]

そうすると残り3つのベクトルはUの基底であるから
(x y z w) - d(1 1 1 1) を残りの3つのベクトルの線形結合で表せて
従って(x y z w) を4つのベクトルの線形結合で表せることになります。
-----------

> この場合もw-v∈Uならばv+U=w+Uと見做すんでしょうか?
その通りです

=============
問題を次のように単純に改変してみると
イメージがよりつかみやすいかもしれません

V = R^3、部分空間 U = {(v1 v2 v3) | v3=0} がある

a)Uの基底を求めよ。
b)上記の基底をVの基底に拡張せよ。v∈Vをこの基底を使って表わせ。
c)剰余化群V/Uの元を説明せよ。V/Uの基底を探し、基底である事を証明せよ。
--------

a) 例えば {(1 0 0), (0 1 0)}
b) 第三成分が0でないベクトルを付け加えれば良いです
c) V/U の元は幾何学的に解釈するなら「xy平面に平行な平面」とでも言えるでしょう
(z座標が等しい点を同一視するので)

V/U の元は z座標という1つのパラメータで決まります
すなわち V/U の1次元の線形空間であり
基底としては例えば {(0 0 1)+U} を挙げれば良いでしょう

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