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非相対論的な粒子の状態方程式はPV=NkTを満たしますが、相対論的な粒子ではPV=xNkT...

g97********さん

2015/5/213:00:02

非相対論的な粒子の状態方程式はPV=NkTを満たしますが、相対論的な粒子ではPV=xNkT(xは数定数で約0.9)となってしまうのはどう考えたらよいでしょうか?

統計力学の教科書でPV=NkTを導く方法が相対論的な粒子では成り立たないと考えるべきですか?

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sen********さん

2015/5/303:28:48

平衡状態での分布関数を使った導出でしたら,同じ方法で状態方程式を導出できます。
だだし分布関数の形が非相対論のそれとは異なります。

相対論的分布関数:
f = 1/(exp(E/kT) ± 1) (+:フェルミオン,-:ボソン)
ただしエネルギー E は
E = √(p^2 c^2 + m^2 c^4) (p:運動量,m:質量,c:光速度)

これを用いて数密度と圧力を求めてください。
数密度: n = ∫d^3p/(2πℏ)^3 f
圧力: p = ∫d^3p/(2πℏ)^3 f × (pc)^2/3E

今は相対論的な粒子を考えていますから,mc^2 << kT(つまり m=0)として考えてもらって構いません。
これらの結果から PV=xNKT を再現できるはずです。
x=0.9… はボソンの場合ですね。フェルミオンの場合は 1 より若干大きくなります。

なので x=1 からのズレは,(1)粒子の統計性によるもの,(2)分布関数の運動量依存性の違い,から来るものですね。(2) は温度スケールに比べ,運動量の大きな場合と小さな場合で分布関数の振る舞いが違うことに起因します。


* * * * *

補足ですが,非相対論的な場合に,質量が運動量に対して大きい(p << mc)と仮定すると
E = mc^2 + p^2/2m + …
で,さらに質量が温度に比べて大きい(kT << mc^2)とすれば
exp(mc^2/kT) >> 1 ですから,相対論的分布関数の表式での ±1 は無視できます。
なので非相対論的な分布関数
f = exp[-(mc^2 + p^2/2m)/kT]
を再現します。第1項が余計に見えますが,定数項なのでエネルギーをシフトさせるだけの効果です。

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