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密度が一定(ρ)で半径Rの円柱の慣性モーメントを求めたいです。図のx軸周りの慣性モ...

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ID非公開さん

2015/7/3015:00:02

密度が一定(ρ)で半径Rの円柱の慣性モーメントを求めたいです。図のx軸周りの慣性モーメントIxなのですが…

質点の固定軸までの距離をyとおくと、
∫[y=-R〜R] (質点の質量)y^2 となるんでしょうか?また、質点の質量はどうなるのでしょうか?教えてください。

質点,慣性モーメント,慣性モーメントIx,質量,x軸周り,円柱座標,x&lt

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rot********さん

2015/7/3117:18:14

まず、"質点"ということばの使い方が良くないです。
質点というのは大きさのない点です。
文脈から察するに、"質点"のかわりに"体積要素"を用いるのが適切です。
さて、慣性モーメントの計算ですが、円柱形のように軸対称(1つの軸(この問題ではx軸)のまわりに図形を回転させても変わらない)である場合には、円柱座標を用いるのが便利です。
x, y に垂直なz軸を導入すると、
y = r cosθ, z = r sinθ
によって、与えられる r, θ および x が円柱座標です。
円柱座標では体積要素は
dV = r dr dθ dx
で与えられます。
したがって、求める慣性モーメントは、
Ix = ∫ ρr^2 dV
= ∫(-L<x<L) ∫(0<θ<2π) ∫(0<r<R) ρ r^2 r dr dθ dx ←三重積分
= ρ ∫(-L<x<L) dx ∫(0<θ<2π) dθ ∫(0<r<R) r^3 dr ←各変数の積分の積にできる
= ρ・2L・2π・R^4/4
= ρ πR^4 L.
さらに、円柱の質量をMとすれば、
M = 2ρπR^2 L
なので、
Ix = MR^2/2
と表すこともできます。

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