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数学の質問です。

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ID非公開さん

2015/9/1020:17:37

数学の質問です。

X=(SpecA,O(SpecA)),Y=(SpecB,O(SpecB))をアフィンスキーム、(f,f#):X→Yをスキームの射とする。このとき、fは分離射である。

という命題の証明で分からない箇所があります。

ちなみに、スキームの射が分離射であることの定義は、対角射がclosed immersionであることで、
スキームの射(f,f#):(X,O(X))→(Y,O(Y))がclosed immersionであることの定義は、次の①と②を満たすことです。
①連続写像f:X→Yが、XからYの閉集合への同相を引き起こす。
②層の射f#:O(Y)→f*O(X)が全射である。(f*O(X)はY上の層で、direct imageと呼ばれるものです。)


(証明)
まず、事実として「SpecAからSpecBへのスキーム射全体と、BからAへの環準同型全体は一対一対応」ということが分かっていて、これは認めることにします。

今、AはB代数とみなせて、X×(Y)X=Spec(A×(B)A)となります。これも認めてしまいます。ただし、X×(Y)XはY上のファイバー積、A×(B)AはB上のテンソル積とします。

対角射Δ:X→X×(Y)Xは、環準同型Φ:A×(B)A∋a×b→ab∈Aと対応していて(a×bはテンソル積です。)、これは全射なのでΔはclosed immersionである。(証明終)

分からないところは、
①対角射とA×(B)AからAへの環準同型が対応しているのは上の事実から分かるのですが、その対応がなぜa×b→abと書けるのか分かりません。
②Φが全射であるということからΔがclosed immersionと言えるのがなぜなのか分かりません。

長々とすみません。記号や定義等で分からないところばあれば聞いてください。参考までに、これはハーツホーンの代数幾何のテキスト(英語版)のP96の命題です。宜しくお願い致します。

補足すみません。分からないところの①については解決できました。②について、分かる方いましたら宜しくお願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kin********さん

2015/9/1507:09:59

一般に環の全射に対応するアフィンスキームの射はclosed immersionです。
A→Bが全射とするとその核をIとしてB=A/Iとかくことができます。
これがclosed immersionであることはハーツホーンのexample 3.2.3にあります。

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質問した人からのコメント

2015/9/15 11:41:09

そういうことでしたか。ありがとうございました。

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