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0<a<b<1のとき (2^a-2a)/(a-1)と(2^b-2b)/(b-1)の大小を比較せよ f(x) = (2^x-...

ny_bigapplejrさん

2016/2/1513:49:21

0<a<b<1のとき
(2^a-2a)/(a-1)と(2^b-2b)/(b-1)の大小を比較せよ

f(x) = (2^x-2x)/(x-1)を考えて、微分すると

f'(x) = [(2^x){(x-1)log2 -1}+2]/(x-1)^2

ここで分子をg(x)とおいて、g(x) =2^x{(x-1)log2 -1}+2を微分して
g'(x) =(2^x)(log2)^2(x-1)

より0<x<1において、g(x)は単調減少でありg'(1) =0であるから、g(x) >0である。
f'(x)において、分母は0より大きく分子も0より大きいので、f'(x) > 0となり、f(x)は単調増加である。
よって、'f(a) < f(b)となり、(2^a-2a)/(a-1)<(2^b-2b)/(b-1)
(qed)

間違いがありますか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

kahicocohiさん

2016/2/1514:00:41

g'(1) =0であるから、g(x) >0である。
ではなく
g(1) =0であるから、g(x) >0である。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2016/2/21 22:15:44

助かりました!

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