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坂田アキラの確率 問題6‐3 P57 (1)720の正の約数で、3の倍数となるものの総数...

sek********さん

2016/3/603:18:09

坂田アキラの確率 問題6‐3 P57
(1)720の正の約数で、3の倍数となるものの総数は(イ)個で、
それらの総和は(ロ)である。

まず問題の意味がよくわかりません。

3の倍数とならないとダメということは
{003,006,009・・・720}
ということでしょうか?

また720=2^α×3^β×5^γ・・・★
★で、βは0になれない。と書いてあるのですが、
β=0になると、3^0=1より
2^α×3^β×5^γは3の倍数でなくなるのはなぜですか?

モロ詳しい解説お願いします。
どうしても理解したいです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

yuu********さん

2016/3/608:03:37

3の倍数とならないとダメということは
{003,006,009・・・720}
ということでしょうか?
>000も3の倍数だから
{000, 003,006,009・・・720}
ということです。

また720=2^α×3^β×5^γ・・・★
★で、βは0になれない。と書いてあるのですが、
β=0になると、3^0=1より
2^α×3^β×5^γは3の倍数でなくなるのはなぜですか?

ある数が3の倍数であるためには、その数を素因数分解
したときに素数である3が含まれていなければならない
からです。

質問した人からのコメント

2016/3/9 12:53:19

とても丁寧な解説ありがとうございました。

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psa********さん

2016/3/608:07:50

720の正の約数は1,2,3,4,5,6,8,...とあるわけですが,その中で3の倍数のものはいくつあるかというのが(イ),(イ)の数を全部足していくつになるかが(ロ)の問題です.
実は「約数の総数」「約数の総和」の問題は簡単な解法があります.
今回はその方法を利用して解きました.

720=2^4*3^2*5^1に着目すると,すべての約数について
2^p*3^q*5^r ・・・(#)
(ただし,0<=p<=4,0<=q<=2,0<=r<=1)
で表すことができます(例えば,720の約数である60はp=2,q=1,r=1のときの約数になります).つまり,2^0,...,2^4から1つ,3^0,...,3^2 から1つ,5^0,5^1 から1つ選んで掛け合わせたものが720の約数となるので,その総数(約数の作り方)は,
(2のべき乗の選び方)*(3のべき乗の選び方)*(5のべき乗の選び方)
となります.
このうち3の倍数となるのはq=1,2の場合なので(q=0だと約数は2^p*3^0*5^r,即ち2^p*5^rとなり,これは明らかに3の倍数にはならない),3のべき乗の選び方は3^1,3^2の2通りになります.

(イ)
(2のべき乗の選び方)*(3のべき乗の選び方)*(5のべき乗の選び方)
=5*2*2
=20
【答え】20

また,3の倍数となる約数は(#)のように表せる(ただし,q=1,2)のでその総和は,
Σ[p=0→4]Σ[q=1→2]Σ[r=0→1](2^p*3^q*5^r) ・・・①
となるが,これは
(2^0+2^1+...+2^4)(3^1+3^2)(5^0+5^1) ・・・②
という形にすることができます(②を展開すると各p,q,rのときの約数が出てくるので①⇔②になる).

(ロ)
(2^0+2^1+...+2^4)(3^1+3^2)(5^0+5^1)
=31*12*6
=2232
【答え】2232

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nij********さん

2016/3/608:02:45

n=720
(=8x90)
(=2³x9x10)
=2⁴x3²x5¹
の正の約数は、
1=2⁰x3⁰x5⁰
2=2¹x3⁰x5⁰
3=2⁰x3¹x5⁰
-----
720=2⁴x3²x5¹

つまり、720の約数は、
(2^p)x(3^q)x(5^r)
p=0,1,2,3
q=0,1,2
r=0,1
の形で書けますね。

3の倍数とは、を約数に持つ数ですから、
q=1,2
(2^p)x(3¹)x(5^r)
(2^p)x(3²)x(5^r)
の何れかに成ります。
q=0のときには、
(2^p)x(3⁰)x(5^r)
=(2^p)x1x(5^r)
=(2^p)x(5^r)
ですから、
を約数に持ちませんね。

720の約数のうち、
3の倍数の和は、
(3¹+3²)(1+2¹+2²+2³)(1+5¹)
=(3+9)(1+2+4+8)(1+25)
=12x15x26
=4680


<例>
n=12=2²x3
の約数
1,2,3,4,6,12
の内
3の倍数は?
3,6,12
3=2⁰x3¹
6=2¹x3¹
12=2²x3¹





axa=a^2とし、
()を多く用いました。

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