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minamino です、高校数学質問1 東大有名問題 こんにちは、宜しく御願いします...

minaminoさん

2016/6/1307:30:28

minamino です、高校数学質問1 東大有名問題

こんにちは、宜しく御願いします。

問題

http://imgur.com/MdNaInU

何卒、宜しく御願い致します。

minamino

補足私の答案です、

http://imgur.com/MSgfRWL

何卒、宜しく御願い致します。

minamino

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79
回答数:
2
お礼:
25枚

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ベストアンサーに選ばれた回答

kod_aさん

2016/6/1308:39:15

扇形の孤と弦の長さの比較が一般的ですね。

半径r、中心角θの扇形について
孤…rθ
弦…2r sin(θ/2)

孤は弦より長いので、θ>0 のとき
rθ > 2rsin(θ/2)
ゆえに
θ > 2sin(θ/2) …(*)
が成り立つ。

ここで
cos(π/6) = √3/2 より
sin(π/12) = √((1 -cos(π/6))/2}
= √{(1-(√3/2)/2 )/2}
= √2(√3 -1)/4

なので、(*)でθ=π/6 とすると
π/6 > √2(√3 -1)/2
π > 3√2(√3 -1)

√2 > 1.414
√3 > 1.732
であるから、計算結果の小数第4位を切り捨てれば
π > 3*1.414(1.732 -1) > 3.105

  • 質問者

    minaminoさん

    2016/6/1313:50:47

    kod_aさん

    お久しぶりです。

    こんにちは、ご回答有難うございます。

    私の答案をUPしますので、暫しお待ち下さい。

    何卒、宜しく御願い致します。

    minamino

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質問した人からのコメント

2016/6/14 05:40:00

今回はお二方に

ご回答いただき、

心から感謝致します。

minamino

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2016/6/1309:10:54

円周率πの定義は、
π=円周の長さ/直径
なので、
これを基準にして、πの値を昔の人は求め
ていきました。
半径rの円に内接する正n角形の周の長さは
2nrsin(π/n)
なので、
半径rの円に内接する正n角形の周の長さより、
円周の長さの方が大きいので、
2nrsin(π/n)<2πrとなります。
従って、
nsin(π/n)<π
となります。
nに具体的な数字を代入します。
n=12のとき、半角の公式から、
12sin(π/12)
=12sin(π/3-π/4)
=3(√6-√2)
となる。
(√6-√2)^{2}-(3.1/3)^{2}
=8-4√3-(3.1^{2}/9)
=(62.39-36√3)/9
=(√3892.5121-√3888)/9
>0
なので、
(√6-√2)^{2}>(3.1/3)^{2}
従って、
√6-√2>3.1/3
ゆえに、
3(√6-√2)>3.1
従って、
3.1<3(√6-√2)=12sin(π/12)<π
となる。

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