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Aを距離空間(X,d)の部分集合とする。 A^a:集合Aの触点全体の集合 A^d:集合Aの集...

kum********さん

2016/7/301:37:49

Aを距離空間(X,d)の部分集合とする。
A^a:集合Aの触点全体の集合
A^d:集合Aの集積点全体の集合 とするとき
A^ad=A^d を示せ。

A^ad ⊃ A^d はすぐ示すことができるのですが、その逆がいまいちよくわかりません。
やはり順当にA^adから任意に元xをとってそれがA^dに含まれる、という方法でやるのでしょうか?
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

こうさん

2016/7/302:16:30

やはり順当にA^adから任意に元xをとってそれがA^dに含まれる、という方法でやるのでしょうか?

そのとおりだと思いますよ。

(A^a)^dの任意の元Xに対して、次のような点列{Xn}がとれる。
0<d(Xn,X)<1/n … ①
Xn∈A^a…②


②よりXnに対して、A^aは触点全体の集合なので、次のようなYnがとれる。
0≦d(Xn,Yn)<d(Xn,X) … ③
Yn∈A … ④

①③より
d(Yn,X)≦d(Yn,Xn)+d(Xn,X)<2d(Xn,X)<2/n
となり、n→∞のときYnはXに収束する。

また、三角不等式より
d(Xn,X)-d(Xn,Yn)≦d(Yn,X)
となり、③より
d(Yn,X)>0
Yn≠X…⑤

④⑤より、点列{Yn}はXと異なり、Xに近づくAに含まれる点列だと分かります。

つまり、XはAの集積点ということです。

したがって示したい包含関係が示せました。

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質問した人からのコメント

2016/7/6 02:26:05

なるほど!!!詳しく何度も答えて頂いて大変助かりました!!
しっかり理解することができました!
本当にありがとうございました!!!

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