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正四面体OABCについてOBの中点をD、OCの中点をE、△ABCの重心をGとし、点Oに関する...

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ID非公開さん

2016/8/2610:53:50

正四面体OABCについてOBの中点をD、OCの中点をE、△ABCの重心をGとし、点Oに関する点A,B,Cの位置ベクトルをa,b,cとする。平面ADEと直線OGの交点をPとおくとき、ベクトルOPをベクトルa,b,cで表すと?

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k03********さん

2016/8/2611:41:20

ID非公開さん

正四面体OABCについてOBの中点をD、OCの中点をE、△ABCの重心をGとし、
点Oに関する点A,B,Cの位置ベクトルをa,b,cとする。平面ADEと直線OGの
交点をPとおくとき、ベクトルOPをベクトルa,b,cで表すと?

OD=(1/2)b
OE=(1/2)c
OG=(1/3)(a+b+c)

AP=sAD+tAE=(-s-t)a+(s/2)b+(t/2)c
OP=(1-s-t)a+(s/2)b+(t/2)c=u(1/3)(a+b+c)
u=(3/5)
OP=(1/5)(a+b+c)
???

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    質問者

    ID非公開さん

    2016/8/2612:22:19

    すみません、s,t,uは何ですか?

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ベストアンサー以外の回答

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ika********さん

2016/8/2805:18:33

ベクトルの→は< >で代用します。(何となく)

Gの位置ベクトルは(<a>+ <b>+ <c>)/3 これは<OG>でもある。

O、P、Gは一直線上にあるので<OP>=k<OG>…① (0<k<1)とおけます。

また<AP>は<AD>と<AE>を用いて表せるので(A、D、E、Pは同一平面上)

<AP>=s<AD>+ t<AE>…② とおける。

(Pは⊿ADEの内部にあるので、0<s<1 , 0<t<1)

<AD>=<b>/2 - <a> <AE>=<c>/2 - <a> なのでこれを②に代入すると、

<AP>= -(s+t )<a> + s/2<b> + t/2<c>となる。

<OP>=<OA> <AP>より、

<OP>=(1-s-t)<a> + s/2<b> + t/2<c> …③

①=③より

(1/3)k=1-s-t=(1/2)s=(1/2)t

これを解いてもらえばs=2/5 t=2/5 k=3/5 が出ます。
あとはこれらを①か若しくは③に代入すれば

<OP>= (<a>+ <b>+ <c>) /5 …(答)

見辛くてすいません>< ベクトルの問題というのは多面的な考え方が求められるので練習あるのみです!

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