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【代数学】 以下の問いの詳解をよろしくお願いします。 L/Kを体の5次拡大と...

kom********さん

2016/10/1518:28:05

【代数学】

以下の問いの詳解をよろしくお願いします。

L/Kを体の5次拡大とし,β∈L,β/∈Kであるとき,

(1)L=K(β)

(2)β³/∈K

が成り立つことを示してください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/10/1522:23:45

(1)
β∈L だから、L⊃K(β)⊃K なので
5=[L:K]=[L:K(β)][K(β):K]

そして、β/∈K だから K(β)≠K なので
[K(β):K]≠1

よって、[L:K(β)]=1

したがって、L=K(β)


(2)
β^3∈Kと仮定します。
f(X)=X^3−β^3とおくと
f(X)∈K[X]で、f(β)=0 なので
[K(β):K]≦deg f(X)=3
しかし、[K(β):K]=5 なので、矛盾します。

したがって、β^3/∈K

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