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【代数学】 以下の問いの詳解をよろしくお願いします。 f(X)を体K上の3次既...

kom********さん

2016/10/1523:35:11

【代数学】

以下の問いの詳解をよろしくお願いします。

f(X)を体K上の3次既約多項式,g(X)をK上の2次既約多項式とし,f(g(α))=0をみたすものとする。

(1)[K(g(α):K]を求めよ。

(2)[

K(α):K]は,3もしくは6であることを示せ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/10/1611:08:20

(1)
g(α)のK上の最小多項式はf(X) なので
[K(g(α)):K]=deg f(X)=3

(2)
β=g(α)とおき、h(X)=g(X)−β とおくと
h(X)∈K(β) で、h(α)=0 なので
[K(α):K(β)]≦deg h(X)=deg g(X)=2
よって、[K(α):K(β)]=1, 2

そして、[K(α):K]=[K(α):K(β)][K(β):K]=3[K(α):K(β)]

したがって、[K(α):K]=3, 6

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