ここから本文です

電気回路の初等的解法の問いの導出がわかりません 問図4.9の回路において時刻τ=...

hhd********さん

2016/12/2419:22:47

電気回路の初等的解法の問いの導出がわかりません

問図4.9の回路において時刻τ=0[s]でスイッチSを閉じると弾丸が発射されt=0[s]およびt1[s]に細線aおよびb(細線間の感覚をL(cm)とする)を切断

するものとする。細線aが切断される直前のキャパシタンスCの電荷はQ0(=CE)[C],細線bが切断された直後の電荷はQ1[C]であった。弾丸がa-b間を通過するのにかかった時間t1[s]および弾丸の速さv[cm\s]を与える式を求めよ

という問の答えが
t1=τIn(Q0/Q1[s],
v=L/{CRIn(Q0/Q1)}[cm/s]
でした。導出を教えてください

細線,キャパシタンス,Q1,Q0,導出,ラプラス,コンデンサ

この質問は、活躍中のチエリアン・専門家に回答をリクエストしました。

閲覧数:
145
回答数:
1
お礼:
250枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

juu********さん

2016/12/2516:42:50

Q₀=CE
つまり、スイッチが開いた状態において、コンデンサは満充電の状態であり、
電源からは、電流は流れていません。
そして、スイッチ投入の t=0 にて、細線aが切断されるので、
細線aと電源は、検討考慮する必要はありません。
単純なCR閉回路として考えます。
回路方程式は、
時計回りの電流をi(t)
コンデンサの電荷をq(t)
とすると、
1/C・∫i(t)dt+R・i(t)=0
q(t)=-∫i(t)dt
( 電流i(t)が流れるとq(t)は減っていくので、マイナス符号が付きます。)
です。
したがって、
1/C・{-q(t)}+R・{-dq(t)/dt}=0
両辺にマイナスイチをかけて、
1/C・q(t)+R・dq(t)/dt=0
ラプラス変換します。
1/C・Q(S)+R・{S・Q(S)-q(0)}=0
初期条件は、
q(0)=Q₀
なので、
1/C・Q(S)+R・{S・Q(S)-Q₀}=0
したがって、
Q(S)=RQ₀・1/(RS+1/C)
=Q₀・1/(S+1/CR)
ラプラス逆変換します。
q(t)=Q₀・exp(-t/CR)
t=t₁ において、q(t₁)=Q₁ となるので、
Q₁=Q₀・exp(-t₁/CR)
したがって、
exp(-t₁/CR)=Q₁/Q₀
-t₁/CR=ln(Q₁/Q₀)
t₁=CR・ln(Q₀/Q₁)
が、求まります。
そして、
細線間の間隔がℓなので、弾丸の速度vは、
v=ℓ/t₁
=ℓ/{CR・ln(Q₀/Q₁)}
となります。

-----------------------------------------------
【ラプラス変換を使いたくない人のために】
1/C・q(t)+R・dq(t)/dt=0
変形します。
1/q(t)・dq(t)/dt=-1/CR
∫{1/q(t)・dq(t)/dt}dt=∫(-1/CR)dt
∫{1/q(t)}dq(t)=-1/CR・∫dt
ln{q(t)}=-t/CR+k₁
(k₁は積分係数です。)
t=0 において、q(0)=Q₀ なので、
ln(Q₀)=k₁
したがって、
ln{q(t)}=-t/CR+ln(Q₀)
t=t₁ において、q(t₁)=Q₁ なので、
ln(Q₁)=-t₁/CR+ln(Q₀)
t₁/CR=ln(Q₀)-ln(Q₁)
t₁/CR=ln(Q₀/Q₁)
t₁=CR・ln(Q₀/Q₁)
となります。

  • juu********さん

    2016/12/2516:58:25

    答えの式に出てくる記号は、
    In(アイエヌ)ではなく、ln(エルエヌ)です。
    lnとは、自然対数を表します。
    パソコン等で自然対数 loge(ログ イー)を記すとき、ネイピア数eを添え字にできず、わかりずらいので、ln と表記するのだと思います。

    それから、
    テキストの答えには、
    t₁=τ・ln(Q₀/Q₁)
    とありますが、
    おそらく、このτは、回路の時定数だと思います。
    つまり、
    τ=CR
    です。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる