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θは0≦θ<2πを満たす定数とし、xの2次方程式x^2+2(1-cosθ)x+3-sin^2θ-2sinθ=0…①を考...

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ID非公開さん

2017/1/720:00:04

θは0≦θ<2πを満たす定数とし、xの2次方程式x^2+2(1-cosθ)x+3-sin^2θ-2sinθ=0…①を考える。

⑴方程式①が異なる2つの実数解α、βをもつとき、θは不等式2sin2θ+[ア]sinθ-[イ]cosθ-[ウ]>0を満たす。このことから、θの値の範囲を求めるとπ/[エ]<θ<[オ]/[カ]π、[キ]/[ク]π<θ<[ケ]/[コ]πである。
⑵x=sinθが方程式①の解となるような角θは全部で[サ]個ある。
さらにθが鋭角のとき、方程式①のx=sinθ以外の解はx=[シス]+√[セ]/[ソ]である。

見にくくてすいません。
この問題の[エ]からまったくわかりません。考え方や計算過程を教えてください。お願いします

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2017/1/800:06:46

>θは0≦θ<2πを満たす定数とし、xの2次方程式x^2+2(1-cosθ)x+3-sin^2θ-2sinθ=0…①を考える。

問題が間違えているからですな。

>x^2+2(1-cosθ)x+3-sin^2θ-2sinθ=0…①

じゃなくて

x^2+2(1−cosθ)x+3−sin^2θ−2sin2θ−2sinθ=0 ・・・①

でないと答えは出ない

D/4=(1-cosθ)^2-(3−sin^2θ−2sin2θ−2sin)
=(1-cosθ)^2-3+sin^2θ+2sin2θ+2sinθ
=1-2cosθ+cos^2θ-3+sin^2θ+2sin2θ+2sinθ
=2sin2θ+2sinθ-2cosθ-1
=4sinθcosθ+2sinθ-2cosθ-1
=(2sinθ−1)(2cosθ+1)>0



(2sinθ−1)>0 かつ (2cosθ+1)>0 ・・・②
または
(2sinθ−1)<0 かつ (2cosθ+1)<0 ・・・③

②の場合

sinθ>1/2 かつ cosθ>−1/2

π/6<θ<5π/6 かつ 0≦θ<4π/3、5π/3<θ<2π

π/6<θ<4π/3

③の場合

sinθ<1/2 かつ cosθ<−1/2

0≦θ<π/6、5π/6<θ<2π かつ 2π/3<θ<5π/3

5π/6<θ<5π/3


2)

x=sinθが①の解であるから

sin^2θ+2(1−cosθ)sinθ+3−sin^2θ−2sin2θ−2sinθ=0

−2 cosθsinθ+3−2sin2θ=0

−sin2θ+3−2sin2θ=0

sin2θ=1

0≦θ<2πだから

0≦2θ<4πだから

θ=π/4、5π/4 の時、sin2θ=1となる(つまりθの数は2個)

もう一つの解をxとすれば、解と係数の関係から

sinθ+x=-2(1-cosθ)

x=-2(1-cosθ)-sinθ

θは鋭角であるから θ=π/4 ですね

つまり

x=-2{1-cos(π/4)}-sin(π/4)=-2{1-√2/2}-√2/2=-2+√2/2

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質問した人からのコメント

2017/1/8 22:11:59

すいません問題が間違っていました。
回答ありがとうございます!

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