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位数30の群をすべて求めたいのですが、 G:群 |G|=30として P:シロー5部分群 Q...

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ID非公開さん

2017/2/1200:00:06

位数30の群をすべて求めたいのですが、
G:群 |G|=30として
P:シロー5部分群
Q:シロー3部分群
R:シロー2部分群

とかおいて…の時点で数が多くてかなりめんどくさいのと、

はたしてPQR=Gになるかどうかもよく分かりません。
どうすれば求められますか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

m_b********さん

2017/2/1416:00:34

まず、シロー5部分群が1個または6個になりますが、6個では位数5の元が多すぎるのでこれはあり得ません。同様に、シロー3部分群は1個または10個になりますが、10個では位数3の元が多すぎるのでこれもあり得ません。したがってシロー5部分群とシロー3部分群はともに1個ずつ存在します。

シロー5部分群をPとおきます。G/P は位数6で、その位数3の部分群は正規部分群なので、そのGへの逆像は位数15の正規部分群をなします。位数15の群は巡回群しかないので、Gは位数15の元xと位数2の元yを持つことがわかります。

あとは、あるnによって yxy^-1=x^n と表せますから、nを列挙してできます。

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質問した人からのコメント

2017/2/15 18:54:43

なるほど。とてもよく分かった気がします。
ありがとうございました!

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