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次の方程式の自然数解を 2 組求めて下さい。

bqb********さん

2017/2/2212:58:47

次の方程式の自然数解を 2 組求めて下さい。

x^2 - 20 x y + 5 y^2 - 40 x - 35 y - 109 = 0

(x, y) = (- 3, - 4) が整数解であることは既知とします。

途中経過もお願いします。

補足他の質問で解答を頂いていますが、参考のため解答しておきます。

f (t, t) < 0 なので、- 4 → - 3 → 〇 → 〇 → ・・・の方向で調べます。
解と係数の関係を利用して、
y [n] = 4 x [n - 1] + 7- x [n - 1] , x [n] = 20 y [n] + 40 - x [n - 1]
y [1] = - 4 → x [1] = - 3 → y [2] = - 1 → x [2] = 23 → y [3] = 100 → x [3] = 2017
答え、(x, y) = (23, 100) , (100, 2017)

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ベストアンサーに選ばれた回答

nf1********さん

2017/2/2223:32:47

かなり無理やりです。
(- 3, - 4) を通る傾きmの直線y=mx+3m-4と
2次曲線の交点を求める。
y=mx+3m-4を2次曲線の式に代入するとxの2次方程式に
なるが1つの解がx=-3であることから2次方程式は
(x+3)(Ax+B)=0の形になる。x^2と定数項を調べて
A=5m^2-20m+1,B=15m^2-75m+37になる。
従ってx=-3+(15m-34)/(5m^2-20m+1)
k=m-2とおくとx=-3+(15k-4)/(5k^2-19)
y=mx+3m-4=(k+2)x+3k+2

k=2とすると(x,y)=(23,100)が得られる。
もう1つがなかなかみつからない。
(2√5+√19)(2√5-√19)=1であることより
(2+√19/√5)^2を計算してみると39/5-4√19/√5
そこで(39√5+20√19)(39√5-20√19)を計算すると
5・39^2-19・20^2=5となって見込みあり。
k=39/20とするとx=2017,y=7975

無理矢理ですが(x,y)=(23,100),(2017,7975)が
みつかりました。

  • 質問者

    bqb********さん

    2017/2/2307:37:24

    ありがとうございます。
    実は本問は中学数学の範囲で解けます。
    わかれば、なぁんだそんなことか、と思うはずです。

    他の問題の布石として、面白い答えになるように遊びを入れて作りました。
    (小さい方から 2 つ目の自然数解を意図的に作っています)

    この手の問題の王道は、ぺル方程式ではなく、もっと初等的な解法である気がしています。

    思わせぶりですみません。
    是非再考をお願いしたいです。

    もちろん問題の答えとしては間違っていませんが、
    「自然数解を x+y の小さい方から 2 つ挙げよ」
    という問題の答えではありません。

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質問した人からのコメント

2017/2/28 21:57:38

お二方ともありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nak********さん

2017/2/2312:42:39

既知解に x = -3 ありだと云うから、
与式=(-3)^2 - 20y*(-3) + 5y^2 - 40*(-3) -35y -109
=5y^2 + 25y + 20
= y^2 + 5y + 4 = 0 ・・・①

この2次方程式の解は簡単で、(y+1)(y+4) = 0から
y = -1, -4 。

又、既知解に y = -4 ありだと云うから、与式
=x^2 - 20x*(-4) + 5*(-4)^2 - 40x -35*(-4) -109
= x^2 + 40x + 111 = (x+3)(x+37) = 0 から
x= -3, -37 。

先に既知解が (x, y) = (-3, -4) としたから、
他の解の組み合わせは、(x, y) = (-3, -1) 。
同様に、(x, y) = (-37, -4) が解である。

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