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乗算の交換法則は公理で証明する必要はないのでしょうか?

krs********さん

2017/2/2300:13:58

乗算の交換法則は公理で証明する必要はないのでしょうか?

a * b = b * a

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fer********さん

2017/2/2315:52:26

どこをスタートにするかで色々変わります。
ややこしくなるので自然数に限定してみます。

自然数の掛け算を例えばこんなふうに定義したとします。
a×1=a
a×(b+1)=a×b+a
これをスタートにするなら、交換法則は証明しなければなりません。

証明には数学的帰納法が用いられます:

P(n)が任意の自然数n(n≧1)で正しいこと
∀n P(n) ⇔ P(1)∧∀k(P(k)→P(k+1))

これを拡張し、二変数の命題P(n, m)については
∀m∀n P(n, m) ⇔ ∀m(P(1, m)∧∀k(P(k, m)→P(k+1, m)))
を示せばよいことが分かります。

P(n, m):n×m=m×nが
任意の自然数で成り立つことが分かれば証明終了です。

① ∀m P(1, m)
P(1, m):1×m=m×1が任意のmについて成り立つことを示します。
m=1のとき、(左辺)=1×1=(右辺)になって明らかです。
m=kのとき、1×k=k×1が成り立つと仮定すると、
m=k+1のとき、
(左辺)=1×(k+1)=1×k+1=k×1+1=k+1=(k+1)×1=(右辺)
となるので、すべてのmについて正しいと分かります。

② ∀k(P(k, m)→P(k+1, m))
P(k, m):k×m=m×kが常に成り立つとき、
P(k+1, m):(k+1)×m=m×(k+1)も常に成り立つか示します。

この証明の前に、分配法則を示しておきます:
(a+b)×n=a×n+b×n
n=1のとき、(左辺)=(a+b)×1=a+b=a×1+b×1=(右辺)
n=kのとき、(a+b)×k=a×k+b×kが成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき、
(左辺)
=(a+b)×(k+1)
=(a+b)×k+a+b
=a×k+b×k+a+b
=a×k+a+b×k+b
=a×(k+1)+b×(k+1)=(右辺)
となって、分配法則は常に成り立つことが分かります。

これを用いて、②を示します。
(左辺)
=(k+1)×m
=k×m+1×m
=m×k+m
=m×(k+1)
=(右辺)
となるので、②も常に成り立ちます。

以上から、数学的帰納法により1以上の自然数について
常にa×b=b×aが成り立つことが分かります。

実数などになるとややこしそうですが、自然数だと
だいたいは数学的帰納法で証明することができます。

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lic********さん

2017/2/2310:00:56

まずaとbがなんなのかをはっきりさせないと議論ははじまらない。
例えば行列がなす環の元とかだったら証明したいことはそもそも成り立たない。

a,bが自然数だったら成り立つことは当たり前だから、証明したい人だけ証明すればよい。基礎論という哲学のような分野があり、"証明"することもある。
だって自然数なら成り立つでしょ、明らかに(笑)
いつ成り立つか?!いまでしょ!!

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ree********さん

2017/2/2300:24:11

「環があるとしたら...」という議論をするなら環の定義に含まれているので議論の対象になりません。

「自然数の掛け算は...」であればその掛け算は足し算から定義されたもののはずで「交換法則が成り立つ」ことは定義に含まれないので本当にそうなるか議論する(あるいは証明する)余地があります。当然、整数、有理数、実数、複素数でも同様です。

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