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x=cos^3 t y=sin^3 t のグラフはなぜx軸、y軸について対称とわかるのですか?

na_hsj0622さん

2017/2/2423:42:38

x=cos^3 t
y=sin^3 t
のグラフはなぜx軸、y軸について対称とわかるのですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/2/2511:42:50

x軸について対称であることを知りたければ、P(X, Y)をこのグラフ上の第1象限の点としたとき、Q(X, -Y)がこのグラフ上にあることを言えばいいですね。

X=cos^3(T), Y=sin^3(T)

としましょう。(ここでのTは、原点と点Pとを結ぶ線分とx軸とのなす角を表していることに注意しましょう。)

さて、t=2π-Tという媒介変数に対するx,yの値を計算してみると、

cos^3(2π-T)=(cos(-T))^3=(cos(T))^3=cos^3(T)=X
sin^3(2π-T)=(sin(-T))^3=(-sin(T))^3=-sin^3(T)=-Y

となり、Q(X,-Y)はグラフ上の点です。よって、点Pがグラフ上にあれば、点Qもグラフ上にあるので、このグラフはx軸について対称です。

同様に、y軸について対称であることを知りたければ、P(X, Y)をこのグラフ上の第1象限の点としたとき、R(-X, Y)がこのグラフ上にあることを言えばいいですね。

さて、t=π-Tという媒介変数に対するx,yの値を計算してみると、

cos^3(π-T)=(-cos(T))^3=-cos^3(T)=-X
sin^3(π-t)=(sin(T))^3=sin^3(T)=Y

となり、R(-X,Y)はグラフ上の点です。よって、点Pがグラフ上にあれば、点Rもグラフ上にあるので、このグラフはy軸について対称です。

ちなみにですが、このグラフは原点についても対称です。実際、t=π+Tに対して、
cos^3(π+T)=(-cos(T))^3=-cos^3(T)=-X
sin^3(π+t)=(-sin(T))^3=-sin^3(T)=-Y
となり、点(-X,-Y)もグラフ上の点となるからです。


通常の関数y=f(x)の場合、軸に対する対称性はf(-x)=f(x)が成り立てばy軸について対称、などの有名な条件がありますが、媒介変数表示の場合それが使えないので難しいですね。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2017/2/2500:52:02

y軸対称であるかどうかの判断はy=f(t)=sin^3(t)とおけば
f(-t)=sin^3(-t)=-sin^3(t)=-y
となって
f(-t)=f(t)が成り立たないので、y軸対称ではありません。
一方、x=g(t)=cos^3(t)とおけば
g(-t)=cos^3(-t)=cos^3(t)=x
g(-t)=g(t)が成り立つので
x軸対称と言えます。

との参考書に書いていましたか?参考書を貼り付けてもらえるともっと詳しくわかると思います。

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