ここから本文です

ガウスの法則でなぜEは積分の外に出るんですか?

mat********さん

2017/3/919:00:04

ガウスの法則でなぜEは積分の外に出るんですか?

∫EndS=Q/ε
という式で帯電した球の電界を求めるときに
E∫dS=Q/ε
E=Q/4πεr^2

と導出しますが、Eが積分の外に出るとは
どういう意味ですか?

EはE(r)であるわけで、
Sは4πr^2なので関数とすればS(r)
どっちもrで関係しているので
積分から出てこれないのでは?と思いました
面積が変われば半径が変わって
半径が変わったら電界も変わる、みたいな感じです

何を言ってるか分からないと思いますが
僕も分かりません。。。

閲覧数:
412
回答数:
5
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

int********さん

編集あり2017/3/919:12:01

電荷を半径rの球面で囲みます。
するとS=4πr^2
です。ガウスの法則では面積がSであるような閉曲面を考えて、その面でのベクトル場を積分しますから、もし球面を考えたなら球面上での電界強度は常に一定ですね。半径が同じ部分ですから。だからEは外に出るんです。

ガウスの法則は
適当な閉曲面Sを考えて、ベクトル場Eにより定まるベクトルがSと直交する成分を足し合わせると総電荷を誘電率で割った物が導ける
というものですから。

質問した人からのコメント

2017/3/17 01:51:36

たくさんの解答ありがとうございました
理解することが出来ました

ベストアンサー以外の回答

1〜4件/4件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

kum********さん

2017/3/1111:24:36

閉曲面が等電位面上にある場合には閉曲面上どこでもEは一定ですから∫EdS=E∫dSとすることができる

アンペアの周回積分の法則は知ってると思います。これも同じような考えで、無限長直線電流で距離rの場所でのH求める
∫Hdl=I・・・・Hは閉局面では、磁界の強さは同じで定数とおけるので外に出せます。
H*2πr=Iで、これと同じですね。

ymd********さん

2017/3/1022:47:02

金属球を帯電させたときの球の外部の電場についての質問のようですので、そうみなして回答します(*)。
この場合、電荷は、球表面に一様に、すなわち球対称に分布します(球の対称性から)。またこれらの電荷が球の外部に作る電場(「E=Q/4πεr^2」は球の外部に作る電場ですので、球内部は考察の対象外のようなので対象外とする)も対称性から、球対称であるはずで、その向きは球の中心から放射状に延びる方向(Q>0なら外向き)で、その大きさは球の中心からの距離rだけにしか依存しないはずです(極座標の残り2つθ、φには依存しない)。
ですので、∫EndS=Q/εの面積分の領域を球の中心を中心とする半径r(>球の半径)の球面とすると、En=E(r)で、この値は『球の中心を中心とする半径rの球面では同じ』ですので、積分の外にでる、ということになるのです。したがって、
∫EndS=∫E(r)dS=E(r)∫dS=E(r)4πr^2
(積分の領域内でrは変化しない!、しつこいですが、念のため)
よって、E(r)4πr^2=Q/ε
∴E(r)=Q/(ε4πr^2)
球の外が真空なら、ε→ε0。空気でもほぼε0。
ーーーーーーーーーーーー
*金属球でなくても電荷を強制的に球表面に一様の分布させた場合でも同じです。電荷の分布が一様でない場合はえらいたいへんなことに・・・。対称性に感謝!!!
ーーーーーーーーーーーーーーー

余談です。ちょっと違いますが以前『半径aの金属製の十分に長く薄い円筒を考える。なお中は空洞となっている。この円筒の表面に電流Iを流す。円筒の内部に磁場が生じないことをアンペールの法則から説明せよ。』という質問があり(いまもあるようです。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1416956183...)、考えたことがあります。最初は、これも対称性(とアンペールの法則)で解けるものと思ったのですが(もう一歩のところまでいきますが)解けないことがわかりました。興味があればご覧ください。ベストアンサーをみてから、ベストアンサー以外の回答(ベストアンサーへの私のコメント)をお読みになればわかると思います。おそらく多くのひとがベストアンサーで問題なし、とお考えになるのでしょう(それがベストアンサーになっていますから)。
そのとき、「電場と磁場はちょっと違うようだ」と思いました。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

プロフィール画像

カテゴリマスター

hek********さん

2017/3/1006:36:09

Eが積分の外に出せるのは、「電界の分布が対象で、積分範囲でE(の法線成分)が一定である」ことが明らかだから
(Eが一定である、って明らかでは無い時には積分の外には出せない)

(等電位面って、Eの接線成分が0てのはいえるけど、法線成分が一定、は言えないかと)

「EはE(r)であるわけで、Sは4πr^2なので関数とすればS(r)」
球対称な場合、ある半径の球面上(r=一定)なら、Eは面上のどこでも一定なので、定数として扱えるようになります(で、Eが積分の外に出て、∫dSが球の面積そのものになる)

ryu********さん

2017/3/922:44:16

あなたが仰っていることはよくわかります。そんな疑問を持たないで機械的にEを積分の外に出している人が多いです。

(電界に関する)ガウスの法則は電荷QからはQ/εo[本]の電気力線が出る。だから電荷Qのまわりをぐるりと隙間なく取り囲めばその閉曲面をQ/εo[本]の電気力線がでていく、という法則です。電界Eは電気力線密度ですから、ぐるりと取り囲んだとき出ていく電気力線総数を式で表したものが∫EdSということですね。なお、真空誘電率はεではなく、εoと書きましょう。

あなたが疑問に思われるように一般には∫EdS≠E∫dSです。ただし、閉曲面が等電位面上にある場合には閉曲面上どこでもEは一定ですから∫EdS=E∫dSとすることができるのです。電荷を中心において半径rの球を考えれば電荷からの距離は一定ですから球面上の電界Eはどこでも一定でEを積分の外に出せるのです。逆にガウスの法則を使って簡単に電界を求められるのはEを積分の外に出せるような対称性のある場合だけだということです。点対称の場合以外には、無限に長い直線状に一様に分布した電荷の作る電界、無限に広い平面上に一様に分布した電荷による電界などがあげられます。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる