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数Ⅱの問題です。

chielien_3933ecd5da57ee8e4971da67さん

2017/3/2111:01:56

数Ⅱの問題です。

半径1の球面上に定点Aと動点P,Qがある。
APベクトルとAQベクトルの内積の最大値及び最小値を求めよ。この前出した問題の類題ですが、こちらの方が難易度は落ちると思います。お願いします。

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2017/3/2112:52:59

定点Aと動点P,Qの3点を含む半径1の球面の断面は円になりますね。

X=AP↑・AQ↑=|AP↑|・|AQ↑|cos∠PAQ

−1≦cos∠PAQ≦1であり、断面は円形の相似形の話になりますから、

Xが最大、最小になるの断面が球面の中心Oを含む時です。

で、その断面で考えますね。

∠POA=θ、∠QOA=φ、0≦θ、φ≦π

とすると、

|AP↑|=2sin(θ/2)
|AQ↑|=2sin(φ/2)

∠PAQ=π−(θ+φ)/2

X=AP↑・AQ↑=|AP↑|・|AQ↑|cos∠PAQ
=2sin(θ/2)・2sin(φ/2)・cos{π−(θ+φ)/2}
=−4sin(θ/2)・sin(φ/2)・cos{(θ+φ)/2}

θ+φ=一定とすると、

ここで sin(θ/2)≧0 sin(φ/2)≧0だから

√{sin(θ/2)・sin(φ/2)} ≦ {sin(θ/2)+sin(φ/2)}/2

が成立するのですが、等号が成立するのは sin(θ/2)=sin(φ/2)、

つまり、θ=φの時です。

Xの最大は cos{(θ+φ)/2}<0の時、最小は cos{(θ+φ)/2}>0の時にとると考えられる。

θ=φとすると

X=−4sin(θ/2)^2・cosθ
=−4sin(θ/2)^2・{1−2sin(θ/2)^2}

t=sin(θ/2)^2とし、

f(t)=−4t(1−2t)とします。

f'(t)=−4(1−4t)

t=1/4の時 f'(t)=0であり、この前後で −から+に転じます。

つまり、最小値をとります。

最大値はt=0か1つまり、θ=0かπの時です。

よって


Xの最小値=−4sin(θ/2)^2・{1−2sin(θ/2)^2}
=−4(1/4)・{1−2(1/4)}
=−1・(1/2)=−1/2

Xの最大値

t=sin(θ/2)^2=0の時 X=0
t=sin(θ/2)^2=1の時

X=−4sin(θ/2)^2・{1−2sin(θ/2)^2}
=−4(1)・{1−2(1)}
=−4・(−1)=4

4>0であるからこちらが最大値

ʕ•ᴥ•ʔ

定点Aと動点P,Qの3点を含む半径1の球面の断面は円になりますね。...

  • 2017/03/2113:44:36

    丁寧な説明ありがとうございます!答え一緒になりました!こちらはAPを固定した上でAQcosθを正射影ベクトルの符号つき長さと考えて計算しました!

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