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次の問題の解き方を教えてください 半径aの球の半径bの円柱状の穴をくりぬいた立体...

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ID非公開さん

2017/4/1318:41:34

次の問題の解き方を教えてください 半径aの球の半径bの円柱状の穴をくりぬいた立体の体積をもとめよ、ただしa〉bとする

補足半径aの球の中央からです!

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shi********さん

2017/4/1806:05:27

記号の定義
. . 求めるべき体積:V
. . 半径aの球の体積:Vs=(4π/3)a^3
. . 半径b高さhの円柱の体積:Vc=π(b^2)h
ここで,
. . h=√(a^2-b^2)
また,以下のように,角度αを定義する.
. . sinα=b/a(α=arcsin(b/a))
. . cosα=(√(a^2-b^2))/a.
.
円筒形にくり貫かれる球の部分を2つに分ける.
. . 円錐部分+球面部分:V1
. . 円柱部分-円錐部分:V2
. .
(V1,V2の計算は,半球で考えて2倍する)
V2は,円柱から円錐を除いた部分だから,
V2=2{π(b^2)h-1/3・(b^2)h}=(4π/3)(b^2)h=(4π/3)(b^2)・√(a^2-b^2)
.
極座標(r,θ,φ)を使い,積分で求める.
V1は,θ=αの面により切取られる底面の膨らんだ円錐状の部分であるから,
V1=2∫[0,a]∫[0,α]∫[0,2π](r^2・sinθ)drdθdφ
=4π∫[0,a]∫[0,α](r^2・sinθ)drdθ
=(4π/3)a^3∫[0,α]sinθdθ
=(4π/3)a^3∫[0,α]sinθdθ
=(4π/3)(a^3){1-cosα}
=(4π/3){(a^3)-(a^2)√(a^2-b^2)}
.
したがって,求める体積Vは,
V=Vs-(V1+V2)
V=(4π/3)a^3-(4π/3){(a^3)-(a^2)√(a^2-b^2)}-(4π/3)(b^2)・√(a^2-b^2)
. . =(4π/3){(a^3)-(a^3)+(a^2)√(a^2-b^2)-(b^2)√(a^2-b^2)}
. . =(4π/3){(a^2)√(a^2-b^2)-(b^2)√(a^2-b^2)}
. . =(4π/3)(a^2-(b^2)√(a^2-b^2)
. . =(4π/3){√(a^2-b^2)}^3
.

V=(4π/3){√(a^2-b^2)}^3

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