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0<a(1)<3, a(n+1)=1+√(1+a(n)) (n=1,2,3•••)で定められる数列{a(n)}について次の(1...

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ID非公開さん

2017/4/2522:10:58

0<a(1)<3, a(n+1)=1+√(1+a(n)) (n=1,2,3•••)で定められる数列{a(n)}について次の(1)(2)を示せ。

※a(n)の( )内の数は数列の第n項を表すものとします。

(1) 0<a(n)<3→これは分かるのでOKです。
(2) 3-a(n+1)<(3-a(n))/3→なんか回りくどいやり方になってしまい、論理的に考えてできた解答とは言えないなあと感じてすっきりしません。パッと思いつく方がいらしたらやり方や考え方を教えてください。宜しくお願いします。

補足やっぱり(1)もどのように表現するか聞いてみたいです。余裕があればお願いします。やっぱり自分のやり方は回りくどい気がしてきました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/4/2605:29:59

(1)
0<a(n)<3 …(ア)
n=1のとき、
(ア)は成り立つ
n=kのとき(ア)が成り立つとすると
0<a(k)<3 より
0<√(1+a(k))<2
0<1+√(1+a(k))=a(k+1)<3
となり
n=k+1のときも(ア)が成り立つ
これらより全ての自然数nで
0<a(n)<3 が成り立つ

(2)
3-a(n+1)<(3-a(n))/3
を変形して
9-3(1+√(1+a(n)))<3-a(n)
3+a(n)<3√(1+a(n))
両辺ともに正なので、絶対値で括ることができ、
|3+a(n)|<|3√(1+a(n))|…(イ)
両辺をそれぞれ2乗すると
(3+a(n))²<9+9a(n) …(ウ)
となり、これが成り立つとき(イ)が成り立つ ( |a|<|b| ⇄ a²<b² )

(ウ)の右辺-左辺
=9+9a(n)-9-6a(n)-a(n)²
=-a(n)(a(n)-3) …(エ)
0<a(n)<3 のとき
(エ)>0
よって
3-a(n+1)<(3-a(n))/3 が成り立つ

これでも回りくどいかもしれませんが、このカテゴリで高校数学に回答がつくことは、あまりありません。他の回答をお求めの場合、数学カテゴリでお願いします。

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質問した人からのコメント

2017/4/26 20:44:25

お世話になりました。経験の一つとして解法を覚えておきたいと思います。ありがとうございました!

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