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4桁の素数abcdがある。(ただしa,b,c,dはそれぞれ桁を表す)

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ID非公開さん

2017/5/1618:48:21

4桁の素数abcdがある。(ただしa,b,c,dはそれぞれ桁を表す)

このとき、3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0は整数解を持たないことを証明せよ。


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kod********さん

2017/5/1619:42:11

1≦a≦9
0≦b≦9
0≦c≦9
0≦d≦9

f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d
とする。

題意より
f(10) = a*10^3 + b*10^2 +c^10 +d
これは素数となる。

つまり、
f(x) =0 が整数解をもつとき、それをnとすると

f(n) = an^3 +bn^2 +cn +d = 0
が成り立つ。

ただし、
f(x) はx≧0では単調増加であり
f(0) = d > 0 なので、
n<0 となる。 …(*)

このとき
f(10) - f(n)
= a((10^3 -n^3) + b(10^2 -n^2) +c(10-n)
= (10-n){a(100 +10n +n^2) +b(10+n) +c}

と因数分解できるが

f(n)=0 より
f(10) -f(n) = f(10)
これは素数であるから、(*)より
10-n を因数にもつのは矛盾。

ゆえに、
f(x) = 0 は整数解をもたない。

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