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0≦θ<2πのとき次の不等式を教えてください。お願いします。

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ID非公開さん

2017/5/2012:37:47

0≦θ<2πのとき次の不等式を教えてください。お願いします。

sinθ<tanθ

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/5/2013:39:46

[方針.1]
sin(θ)<tan(θ)
⇔sin(θ)<sin(θ)/cos(θ)…①

0<θ<π(θ≠π/2)のとき
sin(θ)>0なので
①⇔1<1/cos(θ)⇔0<cos(θ)<1
∴0<θ<π/2

π<θ<2π(θ≠3π/2)のとき
sin(θ)<0なので
①⇔1>1/cos(θ)⇔-1<cos(θ)<0
∴π<θ<3π/2

以上より
0<θ<π/2,π<θ<3π/2



[方針.2]
sin(θ)<tan(θ)
⇔sin(θ)<sin(θ)/cos(θ)
⇔sin(θ)*cos^2(θ)<{sin(θ)/cos(θ)}*cos^2(θ)
⇔sin(θ)cos^2(θ)<sin(θ)cos(θ)
⇔sin(θ)cos(θ){cos(θ)-1}<0
⇔2sin(θ)cos(θ)*(1/2){1-cos(θ)}>0
⇔sin(2θ)sin^2(θ/2)>0…②

0<θ<2π(θ≠π/2,3π/2)のとき
sin^2(θ/2)>0なので
②⇔sin(2θ)>0
∴0<2θ<π,2π<2θ<3π

よって
0<θ<π/2,π<θ<3π/2

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