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1番の解答解説お願いします

miyu99614さん

2017/5/2023:52:47

1番の解答解説お願いします

n-1,K-1,解答解説,k',k'+1,k+1,1番

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2017/5/2514:18:05

(1)

Σ(k=1→n)k^2=Sと置く。

ここで、

k^2=(1/2){(k-1)k+k(k+1)}

よって、

S=Σ(k=1→n)k^2=(1/2)Σ(k=1→n){(k-1)k+k(k+1)}

=(1/2){Σ(k=1→n)(k-1)k+Σ(k=1→n)k(k+1)}.....①

さて、

I=Σ(k=1→n)(k-1)kについて考える。

k=k'+1とすると、k=1の時、k'=0

k=nの時、k'=n-1

よって、

I=Σ(k=1→n)(k-1)k=Σ(k'=0→n-1)k'(k'+1)

k'=0の時、k'(k'+1)=0だから、

I=Σ(k'=0→n-1)k'(k'+1)=Σ(k'=1→n-1)k'(k'+1)

よって、

I=Σ(k=1→n)(k-1)k=Σ(k=1→n-1)k(k+1)

よって、①に代入して、

S=(1/2){Σ(k=1→n-1)k(k+1)+Σ(k=1→n)k(k+1)}

=(1/2){(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)(n+2)/3}

=(1/6)n(n+1){(n-1)+(n+2)}

=(1/6)n(n+1)(2n+1)

(2)

Σ(k=1→n)(k^4+3k^3+2k^2)=Sと置く。

ここで、

(k^4+3k^3+2k^2)=k^2(k+1)(k+2)

=k(k+1)(k+2)+(k-1)k(k+1)(k+2)

よって、

S=Σ(k=1→n)(k^4+3k^3+2k^2)

=Σ(k=1→n){k(k+1)(k+2)+(k-1)k(k+1)(k+2)}

=Σ(k=1→n)k(k+1)(k+2)+Σ(k=1→n)(k-1)k(k+1)(k+2)

上と同じように考えて、

=Σ(k=1→n)k(k+1)(k+2)+Σ(k=1→n-1)k(k+1)(k+2)(k+3)

=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)+(1/5)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)

=(1/20)n(n+1)(n+2)(n+3){5+4(n-1)}

=(1/20)n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)

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