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100枚 画像の行列の大きさ1の固有ベクトルを教えてください。 固有値は 7,±√7...

pem********さん

2017/6/519:06:10

100枚 画像の行列の大きさ1の固有ベクトルを教えてください。

固有値は 7,±√7とわかりました。
7の固有ベクトルはわかったのですが、±√7の大きさ1の固有ベクトルがうまく求められません。

わかる方解説お願いします。
(固有値に√がついた時のうまいやり方などありましたら教えてください。)

固有ベクトル,固有値,転置,うまいやり方,x-2,x-1,行列

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ベストアンサーに選ばれた回答

candy712さん

2017/6/521:00:56

たぶんうまいやり方はなく、
1つずつ以下のようにやってください。
解いているうちに案外スムーズに解けます。

固有ベクトル
A=
(1,2,4)
(2,4,1)
(4,1,2)
|A-λI|=0
|1-λ…2…4|=0
|2…4-λ…1|
|4…1…2-λ|
λ=7、-√7、√7
λ=7の場合
-6x1+2x2+4x3=0
2x1-3x2+x3=0
4x1+x2-5x3=0
x3=1とすると
-6x1+2x2=-4
2x1-3x2=-1
**
-6x1+2x2=-4
+)6x1-9x2=-3
-7x2=-7
x2=1
-6x1+2(1)=-4
-6x1=-6
x1=1
v=
(1)
(1)
(1)
λ=-√7の場合
(1+√7)x1+2x2+4x3=0
2x1+(4+√7)x2+x3=0
4x1+x2+(2+√7)x3=0
x3=1とすると
(1+√7)x1+2x2=-4
2x1+(4+√7)x2=-1
**
x1=(-1-√7)/3
x2=(√7-2)/3
v=
((-1-√7)/3)
((-2+√7)/3)
(1)
λ=√7の場合
(1+√7)x1+2x2+4x3=0
2x1+(4+√7)x2+x3=0
4x1+x2+(2+√7)x3=0
x3=1とすると
(1+√7)x1+2x2=-4
2x1+(4+√7)x2=-1
x1=(-1-√7)/3
x2=(√7-2)/3

v=
((-1+√7)/3)
((-2-√7)/3)
(1)

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ベストアンサー以外の回答

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ano********さん

2017/6/608:19:02

簡単かどうかわからないが...

実対称行列なので直交する固有ベクトルのセットがある。

(1,1,1)/√3の転置はすぐわかる。
これと直交する単位ベクトル例えば
(0,1,-1)/√2の転置
(2,-1,-1)/√6の転置
を使えば 2次正方行列の固有値問題になる。

更にこの問の場合特別な対称性が有るので
(1,w,w^2)/√3の転置
(1,w^2,w)/√3の転置
をつかうと
0 a
b 0
ただしwは1の3乗根、bはaの複素共軛

の固有値問題に還元される。
2段階になるが、代わりに次数がおちる。
どっちが楽かはやってみて。

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