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微分方程式

kon********さん

2017/6/816:18:28

微分方程式

a d^2x/dt ^2 +b dx/dt +cx =0
の一般解を求める過程を教えてください
ただし、
b^2-4ac<0
です。

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guy********さん

2017/6/818:02:21

chielien_e6c8a645e6ae4f6490d9210a1さん

a d²x/dt²+b dx/dt +cx =0

(または ax“+bx´+cx=0)(a,b,c :定数)

ⅹは微分しても形の変わらない関数だから、解は指数関数の形をしているはず。

解を x=Ce^rt と置くと

x´=Cre^rt
x“=Cr²e^rt

これらを与式に代入 C(ar²+br+c)e^rt=0

ar²+br+c=0(特性方程式)

D=b²-4ac<0 だから r={-b±i√(-D)}/2=α+βi

ただし -b/2=α,√(-D)}/2=β(>0)

よって解は x=Ce^(α±βi)t

オイラーの公式 e^(it)=cost+isint を使うと

x=C(cosβt±isinβt)e^αt

すなわち x=(C₁ cosβt+C₂ sinβt)e^αt (C₁, C₂:任意定数)



◆定数係数の2階線形微分方程式 u‘’+pu´+qu=0(p ,q:実数の定数)

特性方程式φ(r) ≡ r²+pr+q=0の解によって3つの場合に分かれる。

1)異なる2実解 r₁, r₂ のとき u=c₁e^(r₁x)+c₂e^(r₂x)

2)重解 r(=-p/2)のとき u=(c₁x+c₂)eʳˣ

3)共役な虚数解 α±iβ のとき u=(c₁cosβx+c₂sinβx)eᵅˣ
(c₁,c₂:任意定数)

*2階のみならず1階、3階、4階などの微分方程式でも応用可。

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質問した人からのコメント

2017/6/8 18:56:58

わかりやすい回答をありがとうございました。

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