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1.確率変数SとTをそれぞれ、パラメータλ>0とμ>0の指数分布に従うものとする。こ...

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ID非公開さん

2017/6/1715:00:05

1.確率変数SとTをそれぞれ、パラメータλ>0とμ>0の指数分布に従うものとする。このとき、X=min(S,T)及びY=max(S,T)の分布関数及び密度関数を求める。

2.次にS<Tつまり、S=Xである確率を求める

3. X1,X2,...,Xn はそれぞれパラメータλ1,λ2,...,λn の指数分布に従うとする。このときX = min(X1,X2,...,Xn) 及びY = max(X1,X2,...,Xn )とする。X及びYの分布関数と密度関数を求める。またはX = Xi となる確率を求める。

数学苦手ですが、お願いたします。

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dar********さん

2017/6/1718:41:09

S,Tは独立とし、
Sの密度関数は、f_S(x)=λe^(-λx) (x>0), 他0
とします。(分布関数は、1-e^(-λx) (x>0)期待値は1/λ)

Xの分布関数は
F_Y(x)
=P(X≦x)
=1-P(X>x)

ここで、
XはSとTのうち小さい方なので、
X>xであるためにはS>xかつT>xが必要です。
一方、S>xかつT>xならば、当然S,Tのうち小さい方のX>xですから、
X>x⇔S>xかつT>x
よって、

F_X(x)
=1-P(S>xかつT>x)
=1-P(S>x)*P(T>x) (独立性)
=1-{1-P(S≦x)}{1-P(T≦x)}
=1-{1-(1-e^(-λx))}{1-(1-e^(-μx))}
=1-e^(-(λ+μ)x) (x>0)
密度関数は
f_X(x)=(λ+μ)e^(-(λ+μ)x) (x>0)
これは、パラメータ(λ+μ)の指数分布ですね。

Yの分布関数は余事象使わずに求まります。
やってみてください。
密度関数は分布関数を微分するだけです。

S<Tの確率は、(S,T)の同時密度の積分で計算できます。
独立なので、同時密度は周辺密度
f_S(s)=e^(-λs), f_T(t)=e^(-λt)の積
λμe^(-λs-λt)となります。(0<s,t<∞)
まず、sについて、0<s<tでこれを積分し、
次に、tについて0から∞まで積分すればOKです。

∫(0,∞)μe^(-μt)*[-e^(-λs)](s=0 to t)dt
=∫(0,∞)μe^(-μt)*(1-e^(-λt))dt
=[-e^(-μt)+(μ/(λ+μ))e^(-(λ+μ)t)](0,∞)
=1-(μ/(λ+μ))
=λ/(λ+μ)
という形で求まります。

あるいは、tから積分するとしたら、
s<t<∞でtについて積分し、次に0<s<∞でsについて積分すれば、
∫(0,∞)∫(s,∞)λe^(-λs)*μe^(-μt)dtds
=∫(0,∞)λe^(-λs)[-e^(-μt)](t=s to ∞)
=∫(0,∞)λe^(-(λ+μ)s)ds
=λ/(λ+μ)
と求まります。(こっちの方が楽です)

n変数のパターンでは、独立なX_1,...,X_nの同時密度は
周辺密度の積なので、
積分のときの変数をx_1,...,x_nとするとき、
x_i<x_j<∞でf_X_j(x_j)を積分し、(j≠i)
最後に、それら積分結果とf_Xi(x_i)との積
を0<x_i<∞で積分すれば、
(先ほどの2番目の計算方法と同様)

P(X=X_i)
=λ_i/(∑(i=1 to n)λ_i)
(i=1,...,n)
と求まると思います。

n変数の場合の分布関数、密度関数の求め方は2変数のときと
同様なので、自分で頑張ってみてください。

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