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数Ⅲの平均値の定理は何のためにあり、どういう使い方をするのですか?

shi********さん

2008/7/423:06:06

数Ⅲの平均値の定理は何のためにあり、どういう使い方をするのですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

iey********さん

2008/7/508:05:03

数Ⅲの範囲で、説明します。
例えば、
「関数f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能であって、常にf'(x)=0であれば、f(x)は[a,b]で定数である。」を証明するのに平均値の定理が用いられます。
証明
xを[a,b]内の任意の値とすると、平均値の定理より、f(x)=f(a)+(x-a)f'(c)..(a<c<x)
常にf'(x)=0であるから、f'(c)=0。ゆえに、f(x)=f(a)

また、
「関数f(x)がある区間で微分可能で、その区間で常にf'(x)≧0(f'(x)≦0)ならば、f(x)はその区間で増加(減少)である。」
この証明にも平均値の定理が用いられます。
証明
この区間内の任意の2点x1,x2(x1<x2)をとって、区間[x1,x2]において平均値の定理より
x1<c<x2となるcが存在して、{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)=f'(c)
f'(x)≧0が区間内の全ての点について成り立つのでf'(c)≧0
したがって、{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≧0,x2-x1>0であるから、f(x2)≧f(x1)

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