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行列の最小多項式について 最小多項式を求める際に、固有多項式を因数分解して...

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ID非公開さん

2017/6/2102:32:09

行列の最小多項式について

最小多項式を求める際に、固有多項式を因数分解して次数の低い多項式順にf(A) = 0を満たすかどうかを確かめながら求めているのですが、他に方法ありますか。

また、この方法は最小多項式を求める証明として正しいのでしょうか。

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ベストアンサーに選ばれた回答

c18********さん

2017/6/2106:23:27

「最小多項式を求める証明として正しいのでしょうか。」
最小多項式は、f(A)=O を満たす、多項式の次数が最小で
最高次数の係数が 1 であるもの
なので 方法は正しいです。

「他に方法ありますか。」
λk の多重度が 2 なら A-λkE のランクを調べれば
分かります。
(サイズが 3x3行列以下なら、目視で十分わかります)

A が n次の正方行列でλk を
k 番目の異なる固有値とするとき
n - rank(A-λkE)( = dim(ker(A-λkE) )
が一次独立な固有ベクトルの数となり、

λk の多重度がμのとき
最小多項式(A-λkE)の指数は、
μ - (n - rank(A-λkE)+ 1
「以下」となります。

# 例えば n = 3, μ = 2 のとき
# rank(A-λkE)= 1 なら
# 2 - ( 3 -1 ) + 1 = 1
# rank(A-λkE)= 2 なら
# 2 - ( 3 -2 ) + 1 = 2

理由:
(A-λkE)v は、ベクトルで 第i成分は
(A-λkE) の第i行の行ベクトル と v
の内積になっているので
(A-λkE)v = 0
は、各内積が0、つまり、(A-λEk)の
各行ベクトルと v が直交している
ことを示しています。

一方
rank(A-λkE)は、A-λkE の
一次独立な行ベクトルの数を示して
います。
n 次元空間において rank(A-λkE) 個の
ベクトルに直交する一次独立なベクトルは
n - rank(A-λkE)
なので
A が対角化できるとき、
= ( λk の多重度 μ = 一次独立な固有ベクトルの数)のとき
= 最小多項式の (A-λE)の指数が1 のとき
μ = n - rank(A-λkE)、
μ - { n - rank(A-λkE) } = 0
となります。
rank(A-λkE)が 1 つ大きくなると
最小多項式の (A-λE)の指数が 2 となり
μ - { n - rank(A-λkE) } = 1

さら 1つrank(A-λkE)が大きくなった場合
μ - { n - rank(A-λkE) } = 2
ですが、
最小多項式の (A-λE)の指数は 2 or 3 となり
なります。

上で
# λk の多重度がμのとき
# 最小多項式(A-λkE)の指数は、
# μ - (n - rank(A-λkE)+ 1
# 「以下」となります。
と書いたのは、この為です。

多重度が 2 なら確実に判定できます。

では、では。

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質問した人からのコメント

2017/6/21 14:32:19

ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kbz********さん

2017/6/2113:13:41

Aの次数(Aの固有多項式の次数)をNとし
N次単位行列をEとし
Aの固有多項式における固有値sの重複度をmとし
Aの最小多項式における固有値sの重複度をkとすると
rank((A-sE)^j)=N-m
となる最小のjがkに等しい。

このことは、kはAのジョルダン標準形Jにおける固有値sのジョルダン細胞の最大次数であるからAをJに置き換えて考えれば明白である。

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