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ばね定数k(ω=√k/m)のばねの左端を固定し、右端ひ質量mのおもりをつけてなめらかな...

ezi********さん

2017/6/3000:13:04

ばね定数k(ω=√k/m)のばねの左端を固定し、右端ひ質量mのおもりをつけてなめらかな水平面上に置く。このばね振り子には速度に比例する空気の抵抗力−γvと強制力F0(γ,F0は定数)がはたらいている。

自然長からの伸びをx(t)として、以下 の質問お願いします。
1)おもりの運動方程式を求めなさい
2)一般解を求めなさい

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sch********さん

編集あり2017/6/3006:05:13

運動方程式
mx''=-kx-γx'+F0

これを解きます。


mx''+γx'+kx=F0
まずは、右辺=0として
mx''+γx'+kx=0
の一般解を求める。

ここで
x(t)=e^(λt)
とおく
x'=λe^(λt)
x''=λ^2e^(λt)

を代入します。
mλ^2+γλ+k=0

よって
λ={-γ±√(γ^2-4mk)}/(2m)

ここでγ^2-4mk=pとおくと
よって一般解は
①p>0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1e^√pt+C2e^-√pt}

②p<0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1cos(√pt)+C2sin(√pt)}

③p=0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1t+C2}


次に
mx''+γx'+kx=F0
の特殊解を求める。

x(t)=CF0
とすると
x'=0
x''=0
だから
kCF0=F0
よって
kC=1
C=1/k

よって
x(t)=F0/k
が特殊解

よって、求める一般は
①p>0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1e^√pt+C2e^-√pt}+F0/k

②p<0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1cos(√pt)+C2sin(√pt)}+F0/k


③p=0のとき
x(t)=e^(-γ/(2m)){C1t+C2}+F0/k

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