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最大値に関する問題です。神様よ、力を貸してください。 制約条件 3(x^2)+4xy+2(y...

tin********さん

2017/7/123:04:16

最大値に関する問題です。神様よ、力を貸してください。
制約条件 3(x^2)+4xy+2(y^2)=2
f(x,y)=x^2+y^2の最大値と最少値を求めてください。

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tinsou422さん

ラグランジュの未定乗数法

f(x,y)=x²+y²

g(x,y)=3x²+4xy+2y²-2=0

F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)=x²+y²-λ(3x²+4xy+2y²-2) と置く。

Fλ=Fx=Fy=0 より

3x²+4xy+2y²=2,2x-λ(6x+4y)=0,2y-λ(4x+4y)=0

これを解いて

http://m.wolframalpha.com/input/?i=3x%C2%B2%2B4xy%2B2y%C2%B2%3D2%2C...

以下略


【別解】f(x,y)=x²+y²

3x²+4xy+2y²-2=0 …①

x=rcosθ, y=rsinθ と置き、①に代入

2r²+(rcosθ)²+4r²sinθcosθ-2=0

r²=2/(2+cos²θ+4sinθcosθ)=4/(5+cos2θ+4sin2θ)

=4/(5+√17sin(2θ+α))=f(x,y)

|sin(2θ+α)|≦1だから

f(x,y)の最大値 4/(5-√17)=(5+√17)/2

f(x,y)の最小値 4/(5+√17)=(5-√17)/2

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たかひろさん

2017/7/123:38:36

ラグランジュの乗数法を使ったりするが
楕円が円に接するとき最大、最小になるので
x^2+y^2=r^2
3x^2+4xy+2(r^2-x^2)=2
4xy=2-x^2-2r^2
16x^2y^2=(2-x^2-2r^2)^2
x^4-4(1-r^2)x^2+4(1-r^2)^2=16x^2(r^2-x^2)
17x^4-4(3r^2+1)x^2+4(1-r^2)^2=0

D/16=(3r^2+1)^2-17*(1-r^2)^2
=-8r^4+40r^2-16
-8(r^2+5/2)^2=-34
r^2+5/2=±root17/2
⇒(5-root17)/2<=r<=(5+root17)/2

hir********さん

2017/7/123:27:45

y=mxとして、条件:3x^2+4xy+2y^2=2、に代入する、
つまり、x^2=2/(2m^2+4m+3) ‥‥①、になる。

この時、k=x^2+y^2=x^2+(mx)^2=(1+m^2)x^2=①より=
2(1+m^2)/(2m^2+4m+3)、になる。
分母を払うと、2(k-1)m^2+4km+(3k-2)=0 ‥‥②

・k=1の時、
②は、4m=-1となって、満たすmの値が存在するから、解の一部。
・k≠1の時、実数条件から、判別式≧0
つまり、k^2-5k+2≦0 → (5-√17)/2≦k≦(5+√17)/2

・k=(5+√17)/2の時、②より、m=-(5+√17)/(3+√17)
・k=(5-√17)/2の時、②より、m=-(5-√17)/(3-√17)

以上から、k=1を含めて、(5-√17)/2≦k≦(5+√17)/2


質問者:tinsou422さん。2017/7/123:04:16

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