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ユークリッド空間であるということ。について

chi********さん

2017/7/817:35:10

ユークリッド空間であるということ。について

高校数学範囲での質問です。
wikipediaでユークリッド空間とは何か?と調べてみると三平方の定理が成り立つ空間のことだと書いてありました。
高校数学において、座標平面の定義は本当にこれだけで十分なのでしょうか?
例えば、x軸方向の単位長さ1に対して、y軸の単位長さ(ここでの長さは定義上の長さではなく、可視的に直感で考えた長さのことです。)をx軸の100倍で書き表したとしてもここで三平方の定理が成り立つと言い切ったとすれば、今までと同じような幾何的な考察はできなくなってしまうように思います。
つまりx軸とy軸の単位長さを(定義上ではなく)実世界における同単位の長さを重ねると一致することが可能なように、座標平面上でも同単位の同数倍の長さを一致させるように加えて定義が必要な気がするのですが、このような定義はありますか?
またあるとするならば、どのように書き表すのでしょうか?
教科書にはそのようなことが書いてありません。
また、ない場合どういう風な考え方をするのか教えていただければ嬉しいです。
ここら辺があやふやなので、面積というものにも不安があります。
もしも同単位の長さを重ねると一致させるように定義されているのならば、面積というのは1✖️1の正方形の単位面積の倍表現で表すことができますが、これがもし長方形になったとしたらどうすればよいのでしょうか?
また、物理において、vtグラフを積分したものが、距離を表すのは、vの単位長さと、tの単位長さを全く一致させているからでしょうか?
それとも一致するとは限らないものとして、長方形の倍数を求めているのでしょうか?
分かりづらい質問ですみません。
優しく教えていただきたいですm(._.)m

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wta********さん

2017/7/1516:51:48

wikipediaにはベクトルの長さの和が一意に定まる空間だと書いてありますよ。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%...

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dal********さん

2017/7/1112:37:11

あなたの質問を要約して捉えると、高校での数学的問題を大学的数式で解決しようとしているかのような錯覚を受けます。それが悪いとは思いませんが、実際中学高校Lvで重要視されるのは既に学校で習っている「既存の方程式による解答」です。

ですので解答に至る別の方法を仮に習熟したとせよ、それがあなた自身に対する正しい評価へ繋がるとは限らないのではないでしょうか?

ただ、高校での問題に対する高校での答えは熟知出来るのですからそれらに対して別角度からアプローチするのは悪くないと思います。

取り敢えずは、効率非効率に囚われず「その問題に対する解答はその教科書範囲内に留まる」そう考えてみたらどうでしょうか?

最悪の場合にせよ、あたりまえにある教科書であたりまえを教え損なった教師先生方の責任。最も、そのような先生が存在するとは私には考えづらいですが。

的外れな回答であることは予めお詫びしておきます。頑張ってください〆

obe********さん

2017/7/902:38:52

単位長さを例えばノート上でどのように描こうが、三平方の定理が成り立てばそれはユークリッド空間です。たとえ直角がそうでないように「見えて」も、それは直角なのです。あなたがそれはおかしいというのは、すでにノート上に「別空間」を作っていて、それを元に判断しているからそのように思えるのです。つまり、「2つの」異なる空間を導入して、両者を混同しているのです。

「面積というのは1✖️1の正方形の単位面積の倍表現で表すことができますが、これがもし長方形になったとしたらどうすればよいのでしょうか?」とあるのも、2つの空間を暗黙に導入して、「座標変換」をおこなっていることになります。座標変換については既に詳しく調べられていて、統一的な方法でそれらを処理することが可能です。ここには何の問題もありません。

このような説明でおわかりでしょうか?

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