ここから本文です

pを素数、aを正の整数とする。

blu********さん

2017/7/1111:11:51

pを素数、aを正の整数とする。

(1) p|a^2ならばp|aを証明せよ。
(2)上の事実を用い√pが無理数であることを証明せよ。

閲覧数:
36
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

議論の順番からして素因数分解の一意性は使えませんよね?
たぶんベズーの式から行かなければいけません。

(1)
p|a^2 であり p|a でないとする。(背理法)

p は素数だから p と a は互いに素である。
ベズーの等式から mp+na = 1 をみたす整数 m, n が存在する。
a = pma+na^2 で、p は p と a^2 を割りきるから、 p は pma+na^2 を割りきる。
よって p は a を割りきる。 p|a でないと矛盾。

よって p|a^2 ならば p|a が成立する。

(2)
√p が有理数と仮定する。
√p > 0 だから √p = c/d (c,d は正の整数で c と d
は互いに素) と書ける。

pd^2 = c^2
p|c^2 だから p|c
c = pt (tは整数) とおく。
pd^2 = c^2 = (pt)^2 だから d^2 = pt^2
よって p|d^2 だから p|d

p|c, p|d, p>1 だから c と d は互いに素でないので、c, d の取り方に矛盾。
よって √p は無理数となる。

  • (1) は他にも証明方法があるのでしょうが…

    整数論(可換環)では
    剰余の原理
    → 任意のイデアルが単項
    → ベズーの等式
    → ユークリッドの補題
    → 素因数分解の一意性
    という順番で理論を考えます。

    (1)はユークリッドの補題とほとんど同じものなので、
    理論の理解のためにもベズーの等式から導くのをすすめます。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

質問した人からのコメント

2017/7/11 17:55:24

証明方法はこの他にもいくつかあるのですね、、勉強になります。
時間を割いて回答して頂きありがとうございました!

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる