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f(θ)=cos2θ+2cosθ、g(θ)=sin2θ+2sinθとする。 xy平面上の曲線x=f(θ)、y=g...

mou********さん

2017/8/1421:33:58

f(θ)=cos2θ+2cosθ、g(θ)=sin2θ+2sinθとする。

xy平面上の曲線x=f(θ)、y=g(θ)(-π≦θ≦π)で囲まれる図形の面積を求めよ。

補足難易度どのくらい?

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ベストアンサーに選ばれた回答

gs2********さん

2017/8/1422:10:36

x=-1+2(1+cosθ)cosθ, y=2(1+cosθ)sinθ
のように変形できるので、心臓形とわかる。

平行移動させても面積は不変であることから、
x=2(1+cosθ)cosθ, y=2(1+cosθ)sinθ
として考えてもよい。するとこれは、

極座標表示 r=2(1+cosθ)
のように表されるので、

極方程式の面積公式と例題
http://mathtrain.jp/kyokus

扇形近似して、面積を求めると、
(1/2)∫r^2 dθ (θ from -π to π)
=(1/2)4∫(1+cosθ)^2 dθ
=2[(1/4){6θ+8sinθ+sin(2θ)}]
=6π

別法として、Gauss-Green を使ってもよい。

ガウスグリーンの定理の入試への応用
http://mathtrain.jp/gaussgreen

x=-1+2(1+cosθ)cosθ, y=2(1+cosθ)sinθ
のように変形できるので、心臓形とわかる。...

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