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平面と法線ベクトルについてです。 3つの位置ベクトルO(-1,3,-2)、P(-4,4,0)、Q...

gor********さん

2017/8/2122:37:54

平面と法線ベクトルについてです。

3つの位置ベクトルO(-1,3,-2)、P(-4,4,0)、Q(0,1,1)が存在するとき、三角形OPQの単位法線ベクトルをNとする。方程式PQ×x=Nを満たす解ベクトルを求めよ。

という問題を解いてるのですが、以前解いたとき法線ベクトルが
OQ×OP=-(7,11,5)
となったのですが今回、平面上の任意の点をU(x,y,z)とし、s,kを実数として
s(OP)+k(OQ)=OU
を組み立て、sとkをなくすように解いたところ
7x + y - 11z + 32 = 0
となり、法線ベクトルが(7,1,-11)になりました。
外積との計算と食い違うのですがなぜでしょう?
ただの計算ミスでしたら本当にすみません。

補足解ベクトルも出してほしいです。
お願いします。

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bud********さん

2017/8/2123:14:44

3つの位置ベクトルO(-1,3,-2)、P(-4,4,0)、Q(0,1,1)が存在するとき、三角形OPQの単位法線ベクトルをNとする。方程式PQ×x=Nを満たす解ベクトルを求めよ。
OP=(-3,1,2)
OQ=(1,-2,3)
PQ= (4,-3,1) |PQ|=√26 u=PQ/√26
OP+3OQ=(0,-5,11)
2OP+OQ=(-5,0,7)
N=± (7,11,5)/√195
N= (7,11,5)/√195として
√195N-5PQ=13(-1,2,0)
4√195N-7PQ=13(0,5,1)
N,PQに垂直なベクトルm= (2,1,-5)/√30
u×m=N,m×N=u,N×u=m
x=αu+βm+γN
PQ×x=√26(βN-γm)=N
γ=0
β=1/√26
x=αu+m/√26
x=t (4,-3,1)+(2,1,-5)/√780

ちなみに
s(OP)+k(OQ)=OU
を組み立て、sとkをなくすように解いたところ
7x+11y+5z-16
となり、法線ベクトルが(7,11,5)になりました。

  • 質問者

    gor********さん

    2017/8/2309:17:25

    ただの計算ミスでした。解いてくださってありがとうございます。
    そのあとの計算なのですがx(a,b,c)として
    PQ× x = N
    を計算するのではだめなのでしょうか?
    計算した結果
    x = t(4,-3,1)- (1/√195)*(11,7,0)
    となり、解が異なりました。たぶん間違いですよね・・。

    そしてbudewslakothさん の解法を理解しようともしたのですがわからない箇所が多数あるので教えていただきたいです。

    >√195N-5PQ=13(-1,2,0)
    >4√195N-7PQ=13(0,5,1)
    >N,PQに垂直なベクトルm= (2,1,-5)/√30
    外積で計算し、こちらもmが(2,1,-5)/√30になるのを把握したのですが、ここの計算方法がわからなかったです。詳しく教えてほしいです。

    >u×m=N,m×N=u,N×u=m
    x=αu+βm+γN
    ここは座標系を変えてやっているという解釈でいいでしょうか?
    だとするとなぜわざわざ僕のように標準座標系で計算せずに新しい直角座標系を導入して計算しているのでしょうか?ここに僕の計算が間違えた原因があるということですか?

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質問した人からのコメント

2017/8/23 14:48:01

無事、解決できました。
皆さんありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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lh5********さん

2017/8/2123:06:41

>s(OP)+k(OQ)=OUを組み立て、sとkをなくすように解いたところ
なにをやってるかわからない
別の問題の解き方の模倣?

n=(a,b,c)として
n垂直OP,OQ
a-2b+3c=0,-3a+b+2c=0
-5a+7c=0,c=(5/7)a,b=(11/7)a
よってn=(a/7)(7,11,5)

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