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正の約数の平方和が3で割って1余る整数をA整数と呼ぶ。1以上2017以下のA整数nのう...

segseg_0120さん

2017/9/722:30:10

正の約数の平方和が3で割って1余る整数をA整数と呼ぶ。1以上2017以下のA整数nのうち、次の条件を満たすものは何個あるか。

nを互いに素な2数の積で表すと、2数がつねにA整数となる

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2017/9/800:55:30

nを次のように素因数分解します
n=(3^x)(p(1)^a(1))(p(2)^a(2))…(p(m)^a(m))
ここでp(1)からp(m)は3以外の素因数で全て互いに異なります


(主張1)
nが題意を満たす整数である必要十分条件は全てのp(i)^a(i) (1≦i≦m) がA整数であることである

(主張2)
p(i)^a(i)がA整数である必要十分条件はa(i)≡0 mod3

(主張3)
xの値はnが題意を満たす整数かどうかに関係しない

(3つの主張の証明は割愛します)



主張2よりnが3以外の素因数を持つならばその指数は少なくとも3以上です
13^3=2197
11^3=1331
なのでnは11以下の素数、すなわち3,2,5,7,11以外に素因数を持たない

以下nの素因数分解に現れる3,2,5,7,11それぞれの個数をa,b,c,d,eとするとき
n=(a,b,c,d,e)というように表記します




11を因数に持つとき
11^3=1331なのでnは他の因数を持たない
よって題意を満たすnは(0,0,0,0,3)の1個

7を因数に持つとき
7^6>2017なので7の指数は3
題意を満たすのは
(0,0,0,3,0), (1,0,0,3,0)の2個

5を因数に持つとき
題意を満たすのは
(0,0,3,0,0), (0,3,3,0,0)
(1,0,3,0,0), (2,0,3,0,0)
の4個

2と3以外に素因数を持たないとき
(0,0,0,0,0), (0,3,0,0,0), (0,6,0,0,0)
(0,9,0,0,0), (1,0,0,0,0), (1,3,0,0,0)
(1,6,0,0,0), (1,9,0,0,0), (2,0,0,0,0)
(2,3,0,0,0), (2,6,0,0,0), (3,0,0,0,0)
(3,3,0,0,0), (3,6,0,0,0), (4,0,0,0,0)
(4,3,0,0,0), (5,0,0,0,0), (5,3,0,0,0)
(6,0,0,0,0)
の19個


以上より
条件に適合するnの数は26個です
漏れがあったらすみません

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