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複素数を用いた因数分解

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ID非公開さん

2017/9/2417:41:08

複素数を用いた因数分解

下の画像の因数分解ですが、
解説が簡単すぎてよく分かりません。

もう少し言葉で分かりやすく教えてくださいm(_ _)m
特に解答の4行目が謎です。

因数分解,複素数,因数分解下,解答,解説,因数,x-1

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ベストアンサーに選ばれた回答

pcg********さん

2017/9/2418:04:25

x^3=1の解のうち1でない虚数解の1つをωとすると
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0だから
ω^3=1, ω^2+ω+1=0 が成り立つ
よって
ω^4=ω^3ω=ω
ω^5=ω^3ω^2=ω^2
ω^8=(ω^3)^2ω^2=ω^2
ω^10=(ω^3)^3ω=ω
f(ω)= ω^5+ω^4+1= ω^2+ω+1=0
f(ω^2)= ω^10+ω^8+1= ω+ω^2+1=0
よって
f(x)は(x-ω)(x-ω^2)の因数をもつ
(x-ω)(x-ω^2)=x^2-(ω^2+ω)x+ω^3
=x^2+x+1
よって
f(x)は(x^2+x+1)の因数をもつ
後はf(x)を(x^2+x+1)で割り算実行
その商はx^3-x+1,余り0
よって
f(x)=x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1)

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質問した人からのコメント

2017/9/24 18:12:03

ありがとうございます。
大変よく分かりました。

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