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次の数学の問題を教えてください。

chi********さん

2017/12/1022:28:16

次の数学の問題を教えてください。

2つの自然数a.bは互いに素でありa>2bとする。
この時a-2bとbは互いに素であることを示せ

お願いします!

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ベストアンサーに選ばれた回答

fer********さん

2017/12/1100:01:27

ユークリッドの互除法を用いて示してみます。

(証明)
整数 x, y の最大公約数を gcd(x, y) と表わすこととします。

a=2*b+(a−2b)
となるので、ユークリッドの互除法により
gcd(a, b)=gcd(b, a−2b)

そして、a と b は互いに素だから
gcd(a, b)=1 なので
gcd(b, a−2b)=1

したがって、a−2b と b は互いに素です。


==========
《別解》
次のようにして示すこともできます。

(証明)
a−2b と b の最大公約数を g とすると
a−2b=gm, b=gn(m, n は互いに素な自然数)と表わされます。

すると、a=(a−2b)+2b=g(m+2n) となるので
g は a の約数です。
そして、g は b の約数でもあるので
g は a と b の公約数となります。

さらに、a, b は互いに素なので、その公約数は 1 でけです。
よって、g=1

したがって、a−2b と b は互いに素です。
(証明終わり)

  • 質問者

    chi********さん

    2017/12/1101:05:45

    分かりやすくて、理解しました!
    ありがとうございます!

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