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グラフの頂点がy=x-2上にある2次関数がある。このとき、次の(1),(2)の条件を満たす...

chi********さん

2018/1/418:18:45

グラフの頂点がy=x-2上にある2次関数がある。このとき、次の(1),(2)の条件を満たす2次関数をそれぞれ求めよ。ただし、解答欄にはy= ax2乗+ bx +cの形で答えること。

(1)x2乗の係数は-1であり、x=4のとき、最大値をとる。

(2)グラフが2点(0,1)、(2,1)を通る。

という2問です。全くわかりません。助けてください。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kur********さん

2018/1/418:39:53

(1)
x²の係数が-1のとき、グラフは上に凸である。
このときx=4で最大値をとるということは、
頂点のx座標は4である。
また、頂点はy=x-2上にあるので
頂点のy座標は、y=4-2=2
よって、x²の係数が-1で頂点が(4,2)であるような二次関数は
y=-(x-4)²+2
=-(x²-8x+16)+2
よって、y=-x²+8x-14…(答)

(2)
グラフの頂点はy=x-2上にあるから
頂点を(p,p-2)とすると
求める二次関数は
y=a(x-p)²+p-2で表せる。(ただしa≠0)
これが2点(0,1),(2,1)を通るからそれぞれ代入
ap²+p-2=1…①
a(2-p)²+p-2=1…②
①-②より
ap²-a(2-p)²=0
a{p²-(2-p)²}=0
a≠0より、両辺aで割って
p²-(2-p)²=0
{p+(2-p)}{p-(2-p)}=0
2(2p-2)=0
p=1
①に代入
a-1=1
a=2
よって
y=2(x-1)²-1
=2(x²-2x+1)-1
よって求める二次関数は
y=2x²-4x+1…(答)

  • 質問者

    chi********さん

    2018/1/420:10:38

    回答ありがとうございます!
    助かりました!

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idl********さん

2018/1/418:38:14

頂点は(p,p-2)とおけるから、
(1)
y=-(x-p)^2+p-2
x=4で最大だから、p=4
よって、
y=-(x-4)^2+2=-x^2+8x-14
(2)
y=a(x-p)^2+p-2とおく。
(0,1)と(2,1)を通ることで、軸はx=1とわかります。
つまり、p=1
y=a(x-1)^2-1となり、これに(2,1)を代入して
1=a-1
a=2
よって、y=2(x-1)^2-1=2x^2-4x+1

です。

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