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こんにちは。現在高校1年生のものです。 とある数学の問題について教えてくださ...

tai********さん

2018/1/900:17:31

こんにちは。現在高校1年生のものです。

とある数学の問題について教えてください。
(問)1111の2018乗を11111で割った余りとは?

という問題です。わかりやすく教えてくれたら幸いです。
よろしくお願いします。

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kee********さん

2018/1/1401:27:26

以下、法を11111(mod 11111)とする

1111^2018
≡ (1111 - 11111)^2018
= (-1000)^2018
= (-10^4)^2018
= (-10)^8072
= 10^8072
= 10^(5×1614+2)
≡ 10^2(∵ 10^5 ≡ 1)
= 100

よって求める余りは 100

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odd********さん

2018/1/901:16:02

以下合同式の法を2018とすると、
1111^2018
=(1111^2)^1009
≡(1000)^1009
=100×(10^5)^605
≡100×1^605
=100
よって、求める余りは
100

a_d********さん

2018/1/900:38:40

1111^2018を11111で割った余りは
(1111-11111)^2018を11111で割った余りに等しい。

ここで、
(1111-11111)^2018
=(-10000)^2018
=(-10^4)^2018
=10^8072
である。

また、
10^5を11111で割った余りは1であることに注意する。



以上より、
1111^2018
≡(1111-11111)^2018(mod.11111)
=10^8072
=10^(5×1614+2)
=((10^5)^1614)×10^2
≡(1^1614)×10^2(mod.11111)
=100
となる。

故に、
求める余りは100である。

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kot********さん

2018/1/900:21:37

2018を素因数分解して
1111を2乗したりしてmod(11111)で表して少しずつ砕いてくって感じですかね?

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