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実数全体の集合X=Rの位相を次のように定める。Xの閉集合全体は、空集合、X自身、お...

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ID非公開さん

2018/1/1121:40:19

実数全体の集合X=Rの位相を次のように定める。Xの閉集合全体は、空集合、X自身、およびXの有限部分集合全体から成るとする。このときXは連結か?

「Xの開集合系は空集合、X自身、Xの無限部分集合全体から成る。いま、U={a∈R|a≧0}、V={a∈R|a<0}とすれば、U,VはXの開集合で、U∪V=X、U∩V=φとなるので、Xは連結でない。」

この証明であっていますか?添削お願い致しますm(_ _)m

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sma********さん

2018/1/1122:12:58

> Xの開集合系は空集合、X自身、Xの無限部分集合全体から成る。

がダウトです.
いま 有限集合の補集合は無限集合ですが, 無限集合の補集合がすべて有限集合になるわけではありません. よって,

> U={a∈R|a≧0}、V={a∈R|a<0}とすれば、U,VはXの開集合で、

もダウトです.

※ そもそも X は連結です.
※ 解答が必要ならば補足してください.

  • sma********さん

    2018/1/1122:39:09

    > clicky_clicky_clicky_clickyさん

    すみません. タッチの差でかぶりました.

    せっかくなので用意していた解答を載せておきます. 基本的には
    clicky_clicky_clicky_clickyさんのご解答と同じものです.


    【解答】
    X が非連結であると仮定する(背理法). すると,
    ∃U, V : 空でない開集合 s.t. U∩V=φ (空集合)
    が成り立つ.

    補集合をとると,
    ・U, V≠φ なので, U^, V^≠X,
    ・U, V は開集合なので, U^, V^ は閉集合.
    よって, X の位相の定義より, U^, V^ は有限集合. よって, U^∪V^ も有限集合.

    一方, U∩V=φ なので, U^∪V^=X=R となり, これは無限集合. よって矛盾.

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clickyさん

2018/1/1122:12:48

ID非公開さん

※間違っています.

この位相空間において, 無限集合というだけでは開集合の条件を満たしません. 空以外で無限集合であることは必要であるが, 十分ではないです.
空集合を除いて, 任意の開集合 V をとると, その補集合が有限集合なくてはならない. つまり, つぎの条件をみたすこと.
V∪M = R
V∩M = 空集合
M は有限集合

位相空間 X は連結である.
【証明】
ともに空でない開集合 U, V をとり
U∪V = R
U∩V = 空集合
とおくと, 定義から, U にたいして V は有限集合 かつ V にたいして U は有限集合でなくてはならないが, 和である R は無限集合だから, このような U, V は存在しない.
したがって, X は連結である.

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