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次の行列を直交行列により対角化する問題で、 | 1 0 2 | A = | 0 -1 0 | | ...

ham********さん

2018/1/1718:57:07

次の行列を直交行列により対角化する問題で、
| 1 0 2 |
A = | 0 -1 0 |
| 2 0 1 |

固有値に重解出て固有ベクトルが2つ出るから、シュミットの直交化法を使って直交行列を作って解くという解放はわかるのですが、どうしてそうするのかがわかりません。教えてください。

どうして重解ではない方の固有値に属する固有ベクトルもシュミットの直交化法を使わないのか教えてください。

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can********さん

2018/1/1818:00:18

A=
1, 0, 2
0, -1, 0
2, 0, 1
λ=3、-1、-1
普通に対角化すると
P=
-101
010
101
P⁻¹=
-1/2,0,1/2
0,1,0
1/2,0,1/2
D=P⁻¹AP=
-1,0,0
0,-1,0
0,0,3
直交化法によると
λ=3
(1-λ、0,2)=(-2、0,2)~(10-1)
(0、-1-λ,0)...(0、-4,0)...(010)
(2,0、1-λ)...(2,0、-2)...(000)
q=0
p-r=0
r=1ならば
p-1=0
p=1
v=
(1)
(0)
(1)
λ=-1
(1-λ、0,2)=(2、0,2)~(101)
(0、-1-λ,0)...(0、0,0)...(000)
(2,0、1-λ)...(2,0、2)...(000)
p+r=0
r=-1
p-1=0
p=1
q=0
v=
(1)
(0)
(-1)
λ=-1
(1-λ、0,2)=(2、0,2)~(101)
(0、-1-λ,0)...(0、0,0)...(000)
(2,0、1-λ)...(2,0、2)...(000)
p+r=0
q=1
p=0
r=0
v=
(0)
(1)
(0)
T=
1/√2,1/√2,0
0,0,1
1/√2,-1/√2,0
T’=
1/√2,0,1/√2
1/√2,0,-1/√2
0,1,0
D=T’AT=
3、0、0
0、-1、0
0、0、-1
直交化法の利点は転置行列T’がTの逆行列になる
ことです。

質問した人からのコメント

2018/1/22 19:33:48

ありがとうございます!!

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